1、1第篇 高考专题讲练 思想篇角度一 函数与方程思想函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题 .求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题,往往都可利用函数思想转化为函数问题 .方程思想是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题 .如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题 .示例 解法关键2018全国卷 设 a=log0.20.3,b=log20.3,则 ( )A.a+b0,b0,函数 f(x)= 若关x2+2ax+a,x 0,-x2+2ax-2a,x0
2、.于 x 的方程 f(x)=ax 恰有 2 个互异的实数解,则 a 的取值范围是 . 就 x 的范围分段处理方程f(x)=ax,得到两个含有参数a 的关于 x 的方程,通过方程根的情况得出 a 的取值范围 .答案:(4,8)2016全国卷 函数 f(x)=cos 2x+6cos -x 的最大值为 ( ) 2A.4B.5C.6D.7先化简为关于 sin x 的表达式,再用二次函数的性质去解 .答案:B2016全国卷 已知 a= ,b= ,c=2 ,则 ( )243 425 513A.b0)的焦点为 F,过点 F 且倾斜角为 的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径 4的圆
3、过点 ,则该抛物线的方程为 . (-p2,2)角度二 数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 .数形结合思想体现了数与形之间的转化,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面 .数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,即将代数问题几何化、几何问题代数化 .数形结合思想常用来解决函数零点、方程根与不等式问题,参数范围问题,以立体几何为模型的代数问题,解析几何中的斜率、截距、距离等问题 .示例 解法关键2018全国卷 已知双曲线 C: -y2=1,O 为坐标原点, F 为 C 的右焦x23点,过 F 的直线与 C 的
4、两条渐近线的交点分别为 M,N.若 OMN 为直角三角形,则 |MN|=( )A. B .3 C .2 D .432 3不妨设 OMF=90,由渐近线方程及图形可知,|OM|=|OF|cos 30,|MN|=|OM|tan 60.答案:B2018全国卷 已知函数 f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若ex,x 0,lnx,x0,g(x)存在 2 个零点,则 a 的取值范围是 ( )A.-1,0) B .0,+ ) C .-1,+ ) D.1,+ )g(x)有两个零点等价于f(x)的图像与直线 y=-x-a 有两个不同的交点,作图求解 .答案:C2017全国卷 已知 ABC 是边长为 2 的
5、等边三角形, P 为平面 ABC内一点,则 ( + )的最小值是( )PA PBPCA.-2 B .- C .- D .-132 43建立平面直角坐标系,将各点、各向量用坐标表示出来,再求最小值 .答案:B32017全国卷 设函数 f(x)= 则满足 f(x)x+1,x 0,2x,x0, +f 1 的 x 的取值范围是 . (x-12)先写出函数 f ,考(x-12)查不等式 f x- 1-f(x),画12出 y=f x- 与 y=1-f(x)的12图像,由图像得解集 .答案:(-14,+ )测题1.在平行四边形 ABCD 中, AB=2,AD=1, =-1,点 M 在边 CD 上,则 的最大
6、值为 ( )ABAD MAMBA.2 B.2 -1 C.5 D. -12 32.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB=AA1=2,则异面直线 AB1与 CA1所成的角的余弦值为 ( )A.0 B.- C. D.14 14 123.不等式组 所表示的平面区域为 D.若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则实数 a 的取值范围是 x 0,x+3y 4,3x+y 4. 4.已知函数 f(x)= 如果函数 f(x)恰有两个零点,那么实数 m 的取值范围为 . -x2-2x,x m,x-4,xm, 角度三 分类讨论思想分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题,通过对基础
7、问题的解答解决原问题的思维策略,实质上就是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略 .使用分类讨论思想应明白这样几点:一是引起分类讨论的原因;二是分类讨论的原则,不重不漏,分类标准统一;三是明确分类讨论的步骤 .常见的分类讨论问题有以下几种:1 .由概念引起的分类讨论;2 .由性质、定理、公式的限制条件引起的分类讨论;3 .由数学运算引起的分类讨论;4 .图形的不确定性引起的分类讨论;5 .由参数的变化引起的分类讨论 .示例 解法关键2018全国卷 从 2 位女生、4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有 种 .(用数字填写答案) 分两类求解:3 人中 1
8、 女 2男,3 人中 2 女 1 男 .答案:162017全国卷 设 A,B 是椭圆 C: + =1 长轴的两个端点 .若 C 上存x23y2m在点 M 满足 AMB=120,则 m 的取值范围是 ( )A.(0,19, + )B.(0, 9, + )3C.(0,14, + )D.(0, 4, + )3分焦点在 x 轴上和焦点在y 轴上两种情况讨论 .答案:A42017天津卷已知函数 f(x)= 设 aR,若关于x2-x+3,x 1,x+2x,x1. x 的不等式 f(x) +a 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是 ( )x2A. B . C .-2 ,2 D .-4716,2 -4716
9、,3916 3-2 3,3916分 x1, x1 两种情况,分别求参数 a.答案:A2016全国卷 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V 的球 .若 AB BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是 ( )A.4B.92C.6D.323分球与三棱柱的三个侧面相切和球与三棱柱的上、下两个底面相切进行讨论 .答案:B测题1.设函数 f(x)= 若 f(m)=3,则实数 m 的值为 ( )x2-1(x 2),log2x(00)上一点到两焦点的距离之和为 m-3,则此椭圆的离心率为 ( )x24y2mA. B. 或53 53 217C. D. 或217 37 593.
10、由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且 4 不在第四位,则这样的六位数共有 个 . 4.已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=2f(x)-ax 恰有 2 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 .x,x a,x3-3x,x0 在区间1,5上有解,则 a 的取值范围是 ( )A.(2 ,+ ) B.(- ,2 )2 2C.(- ,3) D.(-,275)3.已知抛物线 C:y2=8x 上一点 P,直线 l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则点 P 到这两条直线的距离之和的最小值为( )A.2 B.2 34C. D.161534 1817344.已知平面
11、向量 , , 满足: | |=| |=| |=1, = .若 =x +y (x,yR),则 x+y 的最大值是 ( )OAOBOC OA OB OC OAOB12 OCOAOB6A.1 B.33C.2 D.2337思想篇 数学思想方法应用角度一1.A 解析 x,y,z 为正实数,设 k=log2x=log3y=log5z1, =31-k1, =51-k1.x2 y3 z5 2x 3y 5z因为函数 f(x)=x1-k单调递增,所以 0,即 m3,若 a2=4,即 a=2,则 m-3=4,即 m=74,不合题意,因此 a2=m,即 a= ,则m2 =m-3,解得 m=9,则 a=3,c= = ,
12、所以椭圆的离心率 e= .故选 A.m m-4 5533.120 解析 先排好 3 个偶数,则从左到右有 4 个空,若排第 1,2,3 个空,则由于 4 不在第四位,故共有 =24(种)排法;若排第 1,2,4 个空,则由于 4 不在第四位,故共有 =24(种)排法;若排第A12 A22 A33 A12 A22 A331,3,4 个空,则 4 不会在第四位,共有 =36(种)排法;若排第 2,3,4 个空,则 4 不会在第四位,共A33 A33有 =36(种)排法 .因此共有 24+24+36+36=120(种)排法,故这样的六位数共有 120 个 .A33 A334. 解析 g(x)=(-3
13、2,2) (2-a)x,x a,2x3-(6+a)x,x0 且 a2,则 g(x)在 a,+ )上无零点,在( - ,a)上存在零点 x=0 和 x=- ,且 a, 00 在区间1,5上有解,即 x+ a,x1,5有解 .设 f(x)=x+ ,x1,5,则 f(x)的最大值为2x 2xf(5)= ,故选 D.2753.D 解析 由题意得,抛物线 C:y2=8x 的准线为 l1:x=-2,焦点为 F(2,0).如图所示,过点 P 作 PM l1于 M,由抛物线的定义可得 |PM|=|PF|.设点 P 到直线 l2的距离为 d,则 d+|PM|=d+|PF|.结合图形可得,点 P 到两条直线的距离之和的最小值即为抛物线的焦点 F 到 l2的距离,即为 = .故选 D.|32+30|32+52 1834174.D 解析 由 | |=1,可设 C(cos ,sin ).由 = ,| |=| |=1,可设 A(1,0),B .由已知可得OC OAOB12 OA OB (12,32)cos =x+ ,sin = y,y2 32即得 y= ,x=cos - ,则 x+y=cos + = sin ,所以 x+y 的最大值是 ,故选 D.2sin3 sin3 sin3 23 ( + 3) 233
