1、1限时集训（十三）立体几何基础过关1.如图 X13-1,在底面为正方形的四棱锥 P-ABCD 中, PA平面 ABCD,AC 与 BD 交于点 E,点 F是 PD 的中点 .(1)求证: EF平面 PBC;(2)若 PA=2AB=2,求点 F 到平面 PBC 的距离 .图 X13-12.如图 X13-2,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,点 E,F 分别是棱 CC1,BB1上的点,且 EC=2FB.(1)证明:平面 AEF平面 ACC1A1;(2)若 AB=EC=2,求三棱锥 C-AEF 的体积 .图 X13-23.如图 X13-3,在四面体 ABCD 中, BA=BC, BAD= BCD=
2、90.(1)证明: BD AC;(2)若 ABD=60,BA=2,四面体 ABCD 的体积为 2,证明:平面 BAD平面 BCD.2图 X13-34.如图 X13-4,四边形 ABCD 是菱形, AF BD,AF CE,且 AF=2CE.(1)求证:平面 ACEF平面 BDE;(2)已知在线段 BF 上有一点 P,满足 AP DE,求 的值 .BPFP图 X13-45.如图 X13-5,在四棱锥 E-ABCD 中, AE DE,CD平面 ADE,AB平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.(1)求证:平面 ACE平面 CDE.(2)在线段 DE 上是否存在一点 F,使 AF平面 BCE
3、?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由 .EFED图 X13-536.如图 X13-6 所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱 BB1底面 ABC,BB1=4,AB BC,且 AB=BC=4,点 M,N 分别为棱 AB,BC 上的动点,且 AM=BN.(1)求证:无论 M 在何处,总有 B1C C1M;(2)求三棱锥 B-MNB1体积的最大值 .图 X13-6能力提升7.如图 X13-7 ,在矩形 ABCD 中, AB=2,AD=4,M 是 AD 的中点,将 MAB 沿 BM 向上折起,使平面 ABM平面 BCDM,如图 X13-7 所示 .(1)求证: AB CM;(2)求点 D 到
4、平面 ACM 的距离 .图 X13-78.如图 X13-8,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,E,F 分别是 CB,CD 的中点,点 M 在棱 CC1上,CM=tCC1(0t1).(1)三棱锥 M-CEF,M-C1B1D1的体积分别为 V1,V2,当 t 为何值时, -V2最小?最小值为多少?13V1(2)试确定点 M 的位置,使得 A1C平面 B1D1M,并加以证明,同时判断此时平面 EFM 是否与平面 B1D1M 垂直?若垂直,加以证明;若不垂直,说明理由 .4图 X13-85限时集训(十三)基础过关1.解:(1)证明:因为 E,F 分别是 DB,DP 的中点,所以 EF P
5、B,又因为 EF平面 PBC,PB平面 PBC,所以 EF平面 PBC.(2)设点 F 到平面 PBC 的距离为 d,则点 D 到平面 PBC 的距离为 2d.因为 PA平面 ABCD,所以PA BC,又 BC AB,PA AB=A,所以 BC平面 PAB,所以 BC PB.在 Rt PAB 中, PB= = ,PA2+AB2 5则 VP-BCD= 11 2= ,VD-PCB= 1 2d= d,由 VP-BCD=VD-PCB得 d= ,即点13 12 13 13 12 5 53 55F 到平面 PBC 的距离为 .552.解:(1)证明:取线段 AE 的中点 G,线段 AC 的中点 M,连接
6、MG,GF,BM,则 MG= EC=BF,又12MG EC BF, 四边形 MBFG 是平行四边形,故 MB FG. ABC 为正三角形, M 为 AC 的中点,6MB AC,又平面 ACC1A1平面 ABC,平面 ACC1A1平面 ABC=AC,MB 平面 ACC1A1,而MB FG,FG 平面 ACC1A1,又 FG 平面 AEF, 平面 AEF平面 ACC1A1.(2)由(1)得 FG平面 AEC,FG=BM= ,所以 = = S ACEFG= 22 = .3 VCAEFVFACE13 13 12 32333.证明:(1) BA=BC ,BD=BD, BAD= BCD=90, Rt AB
7、DRt CBD.AD=CD. 取 AC 的中点 E,连接 BE,DE,则 BE AC,DE AC,又 BE DE=E,AC 平面 BDE,BD 平面 BDE,BD AC.(2)在 Rt ABD 中, ABD=60,BA=2,则 AD=2 , 在 Rt BCD 中, BC=2,CD=2 ,3 3 BCD 的面积为 BCCD=2 .12 3设点 A 到平面 BCD 的距离为 h,则 VA-BCD= S BCDh= 2 h=2,13 13 3h= .3在 ABD 中,过 A 作 AF BD,垂足为 F,BA= 2, ABD=60,AF= =h,3AF 平面 BCD,AF 平面 BAD, 平面 BAD
8、平面 BCD.4.解:(1)证明: 四边形 ABCD 为菱形, BD AC,又 AF BD,AF AC=A,BD 平面 ACEF,BD 平面 BDE, 平面 ACEF平面 BDE.7(2)如图所示,在平面 ABF 内作 BM AF,且 BM=CE,连接 AM 交 BF 于点 P,连接 ME.BM AF,AF CE,BM CE,又 BM=CE, 四边形 BCEM 为平行四边形,BC ME,且 BC=ME. 四边形 ABCD 是菱形, BC AD 且 BC=AD,ME AD 且 ME=AD, 四边形 ADEM 为平行四边形,DE MA,即 DE AP.BM AF, BPM FPA,又 BM=CE=
9、 AF, = = .12 BPFPBMFA125.解:(1)证明:因为 CD平面 ADE,AE平面 ADE,所以 CD AE,又因为 AE DE,CD DE=D,所以 AE平面 CDE,又因为 AE平面 ACE,所以平面 ACE平面 CDE.(2)在线段 DE 上存在一点 F,且 = ,使 AF平面 BCE.EFED13设 F 为线段 DE 上一点,且 = ,过点 F 作 FM CD 交 CE 于 M,则 FM= CD,连接 BM,AF.EFED13 13因为 CD平面 ADE,AB平面 ADE,所以 CD AB.又因为 CD=3AB,所以 FM=AB,FM AB,所以四边形 ABMF 为平行
10、四边形,则 AF BM.又因为 AF平面 BCE,BM平面 BCE,所以 AF平面 BCE.6.解:(1)证明:如图所示,连接 AC1,BC1,要证明无论 M 在何处,总有 B1C C1M,只要证明 B1C平面 AC1B 即可 .BB 1底面 ABC,8BB 1 AB,又 AB BC,BC B1B=B,AB 平面 BCC1B1,B 1C AB. 四边形 BCC1B1为正方形, B 1C BC1,又 AB BC1=B,B 1C平面 AC1B,即无论 M 在何处,总有 B1C C1M.(2) = = 4 BMBN= BMBN 2= (当且仅当 BM=BN=2 时,VB - MNB1VB1- BMN
11、13 12 23 23 BM+BN2 83取等号), 三棱锥 B-MNB1体积的最大值为 .83能力提升7.解:(1)证明:由题意可知, BM= = =2 ,AB2+AM2 22+22 2CM= = =2 ,BC=4,CD2+DM2 22+22 2所以,在 BCM 中, BC2=BM2+CM2,所以 CM BM.因为平面 ABM平面 BCDM,平面 ABM平面 BCDM=BM,CM平面 BCDM,所以 CM平面 ABM,因为 AB平面 ABM,所以 AB CM.(2)取 BM 的中点,记为 E,连接 AE,如图所示 .因为 AB=AM,且 E 为 BM 的中点,所以 AE BM.因为 AE平面
12、 ABM,平面 ABM平面 BCDM,平面 ABM平面 BCDM=BM,所以 AE平面 BCDM,故 AE 的长即为点 A 到平面 BCDM 的距离,易求得 AE= .29由(1)可知, CM AM,则 ACM 是直角三角形,因为 AM=2,CM=2 ,所以 S ACM= 22 =2 .212 2 2由题意知 S MCD= 22=2.12设点 D 到平面 ACM 的距离为 h,因为 VD-ACM=VA-MCD,所以 S ACMh= S MCDAE,解得 h=1,13 13故点 D 到平面 ACM 的距离为 1.8.解:(1)由题可知, CM=2t,C1M=2-2t,0t1,V1= S ECFC
13、M= 112t= ,13 13 12 t3V2= C1M= 22(2-2t)= (1-t),13S B1C1D1 13 12 43所以 -V2= - (1-t)= + - 2 - = ,13V1 1t43 1t4t343 1t4t34343-43当且仅当 = ,即 t= 时等号成立,1t4t3 32所以当 t= 时, -V2最小,最小值为 .32 13V1 43-43(2)当点 M 为 CC1的中点时, A1C平面 B1D1M.证明如下:连接 A1C1交 B1D1于点 O,则 O 为 A1C1的中点,连接 OM, 点 M 为 CC1的中点, OM A1C,又 OM 平面 B1D1M,A1C平面 B1D1M,A 1C平面 B1D1M.当点 M 为 CC1的中点时,平面 EFM平面 B1D1M.证明如下:连接 AC,BD,E ,F 分别为 CB,CD 的中点, EF BD,AC BD,AC EF.AA 1平面 ABCD,EF平面 ABCD,AA 1 EF,AA 1 AC=A,10EF 平面 A1AC,又 A1C平面 A1AC,EF A1C,OM A1C,EF OM.同理 EM OM.因为 EF EM=E,所以 OM平面 EFM,因为 OM平面 B1D1M,所以平面 EFM平面 B1D1M.
