1、课堂导学三点剖析1.同角三角函数关系【例 1】已知 sin-cos= ,则 sin3-cos3=_.21思路分析：把 sin3-cos3 变形凑出含有 sin-cos 的代数式代入求值.解析 ：sin-cos= ,(sin-cos) 2= .411-2sincos= .sincos= .83sin 3-cos3=(sin-cos)(sin2+sincos+cos2)= (1+ )= .16答案：温馨提示若已知 sin-cos 与 sin+cos 其中一个条件，求 sin2cos2 ,sin3cos3 时，常用凑出sincos 与 sincos 的关系来变化.2求三角函数式的值及证明三角函数恒等
2、式【例 2】 已知 cos= ,求 sin 及 tan 的值.178思路分析：用同角三角函数关系解题.解：cos0,且 cos-1 是第二或第三象限角.如果 是第二象限角，那么sin= .175)8(1cos122atan= = (- )= .in75如果 是第三象限角，那么sin=- ,tan = .18温馨提示 (1)要会用公式 sin2+cos2=1 的变形sin2=1-cos2,cos2=1-sin2.(2)若已知正弦、余弦正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在的象限，要求另外两个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算，这时有两组结果，本题就属这种类型.【例 3】求证：
3、 .cosin1sico1思路分析 1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明.证法 1：左边= i= )sinco(s2= )i1()i2= =右边.cosin1)sinco(s)in原式成立.思路分析 2：注意到欲证式中只含有一个角 的函数，因此可用三角函数定义证明.证法 2：设 P（x,y）是象限角 终边上一点，|OP|=r0,则由三角函数的定义知：sin= ,cos= ,且 x2+y2=r2.ry所以，左式= ry1= )()()(22 yrxyrxxrx yry)(= =右式.cosin1rx故原式成立.思路分析 3：考虑到 A=B A-B=0,故此题可采用比较
4、法.证法 3：因为 - =sinco1coi1)i( )sin()s(co = ,0)sinco1(sin22所以 .cosin1sico13.关于“1”的变换【例 4】 已知 tan=2,求 sin2-3sincos+1 的值.思路分析：主要应用“1”的变换.解：sin 2-3sincos+1=sin2-3sincos+(sin2+cos2)=2sin2-3sincos+cos2 1tan3cossin32222 = .512温馨提示已知 tan 的值，求形如 asin2+bsincos+ccos2 的值，可将分母 1 化为 1=sin2+cos2代入，从而转化为关于 tan 的表达式后再求
5、值.各个击破类题演练 1已知 =-1,求值.tan.cosi3s解析：由已知，tan = ,所以，21351tan3cosin3s 变式提升 1已知 tan 为非零实数，用 tan 表示 sin,cos.解：sin 2 +cos2 =1,sin 2=1-cos2.又 =tan,cosintan 2= .1coss1i 22于是 =1+tan2 cos2= .2cos2tan由于 tan 为非零实数，可知角 的终边不在坐标轴上，从而 cos=.,tan1,t2三 象 限 角为 第 二当 四 象 限 角为 第 一当 sin=costan=.,tan1,ta22三 象 限 角为 第 二当 四 象 限
6、 角为 第 一当 类题演练 2已知 sin+cos= ,(0,)，求 tan 的值.5解：将已知等式平方，得2sincos= .24sin+cos= 0,sin0,cos051cos0sin, sin-cos 0.而（sin-cos） 2=1-2sincos= ,于是 sin-cos= .254957和已知等式联立，便可解得sin= ,cos= ,tan= .543变式提升 2已知 f(x)= ,若 ( ,),则 f(cos)+f(-cos)可化简为_.x12解：f(cos)+f(-cos)= 22cos1)(cos1)(cos1cs = .|in|2i|sin|o1si|c答案： i2类题演
7、练 3求证：（1） ;sintasinta(2) .xxxico1)co)(i1co(sin2思路分析：（1）切化弦， （2）左边入手，利用平方差公式.证明：（1）左边= sinco1)c(sino1cosinsincoi222 = =右边.sitat1isini 所以,原命题成立.（2）左边= )1(cos)in1(cosi2xx= 22)(sinx= 1cosii22x= xincos= )cs1)(inx= xinosi2所以，原命题成立.变式提升 3已知 tan2=2tan2+1,求证：sin 2=2sin2-1.证明：因为 tan2=2tan2+1,所以 1cosinsi22= ,2
8、2ii所以 .22sin1sin所以 sin2(1-sin2)=(1-sin2)(1+sin2).所以 sin2=2sin2-1.类题演练 4的值为（ ）cosin1A.sin+cos B.sin-cos C.cos-sin D.|sin+cos|解析：1+2sincos=sin 2+2sincos+cos2=(sin+cos)2原式= =|sin+cos|,2)cos(in故选 D.答案：D变式提升 4若 0,2),且 + =sin-cos,则 的取值范围是（ ）2cos12sin1A.0, ) B. , C., D. ,2)22323解析： + =2cs2si 2cosi=|sin|+|cos|=sin-cos,sin0,cos0, 是第二象限角（包括 x 轴负半轴和 y 轴正半轴）.02, ,.2答案：B
