1、互动课堂疏导引导1.平面向量基本定理如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a,存在唯一的一对实数 a1,a2,使得 ，我们把不共线向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e 1,e2，a 1e1+a2e2 叫做向量 a 关于基底e 1,e2的分解式.规律总结 由平面向量基本定理知，平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是惟一的.a1e1+a2e2 叫做 e1,e2 的一个线性组合，由平面向量基本定理知，若 e1,e2 不共线，那么由e1,e2 的所有线性组合构成的集合a 1e1+a2e2,a1,a2R就是
2、平面内的全体向量，所以我们把e1,e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底.平面向量基本定理虽然没有指出 a1,a2 的计算方法，但它却和平行向量基本定理一起，深刻地揭示了平面向量的基本结构，是继续深入研究向量的基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，从而使问题解决.2.平面向量基本定理的证明（选学）要证明这个定理要从两方面入手，首先要证明存在性，第二要证明惟一性.证明：在平面内任取一点 O，作 =e1, =e2, =a,由于 e1 与 e2 不平行，可以进行如EOA下作图，过点 A 作 的平行（或重合）直线，交直
3、线 于点 M，过 A 点作 的平2 E1OE行（或重合）直线，交直线 于点 N，于是依据平行向量基本定理，存在两个惟一的实2数 a1,a2 分别有=a1e1, =a2e2OMN所以 = + =a1e1+a2e2.证明表示的惟一性：如果存在另一对实数 x,y 使A=xe1+ye2,则 a1e1+a2e2=xe1+ye2.即（x-a 1）e 1+(y-a2)e2=0.由于 e1 与 e2 不平行，如果 x-a1,y-a2 中有一个不等于 0，不妨设 y-a20,则 e2= e1,由2ayx平行向量基本定理得，e 1 与 e2 平行，这与假设矛盾，因此 x-a1=0,y-a2=0 即 x=a1,y=
4、a2.综上,平面向量基本定理得证.3.直线 l 的向量参数方程式及线段的中点的向量表达式已知 A、B 是直线 l 上任意两点， O 是 l 外一点,如下图所示，则对直线 l 上任一点 P，存在实数 t,使 关于基底 ， 的分解式为OPAB(*)并且满足上式的点 P 一定在 l 上.（1）证明如下：设点 P 在直线 l 上，则由平行向量基本定理知，存在实数 t,使=t =t( - )ABOA所以 = + = +t -tB=（1-t） +t设点 P 满足等式 =（1-t） +t ,OA则 =t ,即 P 在 l 上.AB（2）由上面的证明可知，对直线 l 上任意一点 P，一定存在惟一的实数 t 满
5、足向量等式（*）.反之，对每一个数值 t,在直线 l 上都有惟一的一个点 P 与之对应；向量等式（*）叫做直线 l 的向量参数方程式，其中实数 t 叫做参变数，简称参数 .（3）在（*）式中，令 t= ，点 M 是 的中点，则 = （ + ）,这是线段21ABO21AB中点的向量表达式.AB活学巧用【例 1】如右图所示，四边形 OADB 是以向量 =a, =b 为邻边的平行四边形，又ABBM= BC，CN= CD，试用 a,b 表示 、 、 .3OMN解析： = - =a-b，BAO= = = a- b，M31C61 = + =b+ a- b= a+ b.65又 =a+b,得 = = a+ b
6、，DN32D = - = a- b.MNO216【例 2】如右图所示，在 ABCD 中，AH=HD ，BF=MC= BC，且 =a, =b,沿向量41ABD, 分解向量 .ABDMDAFH,解析：“沿向量 ， 分解向量”就是用向量 ， 表示该向量.ABDABD= - =b- b= b,MC413= + =a+ b.- = b-(a+ b)=-a- b.AH241= + =a+ b.FB41= =a+ b,M- = b-(a+ b)=-a+ b.HD241 =a+ b, =-a- b, =a+ b,A43AF=-a+ b.1【例 3】已知向量 a=-e1+3e2+2e3,b=4e1-6e2+2e
7、3,c=-3e1+12e2+11e1,问 a 能否表示成 a=b+c的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由.解析：能.假设 a=b+c,将 a、b 、c 代 a=b+c 得- e1+3e2+2e3=(4-3)e1-(6-12)e2+(2+11)e3,即 解得,1264.51,0a= .cb50【例 4】平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知 A（3， 1） ，B （-1 ，3） ，若点 C 满足= + ,其中 、 R 且 +=1,则点 C 的轨迹方程为（ ）CABA.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0解析：设 =(x,y), =
8、(3,1), =(-1,3).O = + ,(x,y)=(3,1)+(-1,3).OCAB 又 +=1,x+2y-5=0.应选 D.3yx答案：D【例 5】如右图所示，设一直线上三点 A、B、P 满足 = (1),O是平面上任一点，PB则（ ）A. = B. =OP1BAOP1BAC. = D. =解析：由 = 得APB- =( - )，O = (-1).1答案：A【例 6】O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足= +( ),0，+)，则 P 点的轨迹一定过 A 的（ ）P| BCA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析： 分别表示与 ， 同向的单位向量.|,|ACBABC表示以点 A 为起点 ，在ABC 中，A 平分线上的向量，设为 ，| AQ = +( ),OP|CB =( )= ,A|AQ 与 共线， P 的轨迹一定通过 ABC 的内心.APQ答案：B
