1、数学人教 B 选修 1-1 第二章 2.3.2 抛物线的几何性质1理解抛物线的简单的几何性质2了解抛物线的简单应用一、抛物线 y22px (p0)的几何性质1范围因为 p0，由方程 y22px (p0)可知，这条抛物线上任意一点 M 的坐标(x ，y)满足不等式_，所以这条抛物线在 y 轴的_侧；当 x 的值增大时，|y|也_，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口向右2对称性以y 代 y，方程 y22px(p0) 不变，因此这条抛物线是以 x 轴为对称轴的轴对称图形抛物线的对称轴叫做抛物线的_3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_，在方程 y22px( p0)中，当 y0 时，x0，
2、因此这条抛物线的顶点就是_4离心率抛物线上的点到焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的_，用 e 表示按照抛物线的定义，e _.【做一做 1】抛物线 y24x 的顶点坐标是_，对称轴是_抛物线的性质和椭圆、双曲线的区别：抛物线的离心率等于 1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线二、抛物线四种形式的标准方程在直角坐标平面上，顶点在原点、轴与_重合的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应地有_形式，它们都叫做抛物线的标准方程设抛物线的焦参数为 p(p0)，抛物线的标准方程的四种形式列表如下：图形标准方程 y22px(
3、p0) _(p0)对称轴 _顶点 原点焦点坐标 (p2，0) _准线方程xp2 _图形标准方程 x2_ x2 _对称轴 _顶点 原点焦点坐标 _ _准线方程yp2 _【做一做 2】抛物线 x24y 的焦点坐标为_，准线方程为_1对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点：(1)顶点都为原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ；(4)焦点到准线的距离均为 p.其不同点：14(1)对称轴为 x 轴时，方程的右端为2px，左端为 y2；对称轴为 y 轴时，方程的右端为2py，左端为 x2；(2
4、)开口方向与 x 轴(或 y 轴)的正半轴相同，焦点在 x 轴(或 y 轴)的正半轴上，方程的右端取正号，开口方向与 x 轴(或 y 轴)的负半轴相同，焦点在 x 轴(或 y 轴) 的负半轴上，方程的右端取负号2只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程1焦参数 p 与抛物线的开口之间有什么关系？剖析：p 是抛物线焦点到准线的距离，由方程 y22px 知，对于同一个 x 的值，p 值越大，| y|也越大，不妨说抛物线开口也越大，这样可以较好地理解不同的 p 值与抛物线开口大小的关系，如图2如何确定抛物线的对称轴和开口方向？剖析：已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首
5、先要判断抛物线的对称轴和开口方向一次项的变量若为 x(或 y)，则 x 轴(或 y 轴) 是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向例如，抛物线的方程为 x24y，则 y 轴为其对称轴，开口方向和 y 轴的正方向相反由一次项和开口方向确定抛物线标准方程类型对称轴要看一次项，符号确定开口方向，如果 y 是一次项，负时向下，正时向上如果 x 是一次项，负时向左，正时向右题型一 根据方程研究性质【例 1】已知抛物线的标准方程如下，分别求出它们的焦点坐标和准线方程(1)x28y；(2)2y 27x 0.分析：先把所给方程化为标准方程，然后根据抛物线的标准形式，求出 p，再根据开口方向，写出焦点坐标
6、和准线方程题型二 求抛物线的标准方程【例 2】求符合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2) 焦点在直线 x2y40 上分析：根据已知条件求出抛物线标准方程中的 p 即可，注意标准方程的形式反思：求抛物线方程常用待定系数法，当抛物线类型不确定时，要注意讨论题型三 抛物线的简单应用【例 3】探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为 60 cm，灯深为 40 cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标分析：建立适当的坐标系确定抛物线上一点的坐标，从而确定焦参数 p，求得其方程反思：解决本题的关键是建立适当的坐标系，求出抛物线的标准方程，进而求出焦点坐标
7、即焦点位置题型四 易错题型【例 4】设抛物线 y2mx 的准线与直线 x1 的距离为 3，求抛物线方程错解：其准线方程为 x 132，故 m8.m4抛物线方程为 y28x .错因分析：错解中没有明确焦点的位置，误认为焦点在 x 轴的正半轴上1 抛物线 x216y 0 的焦点坐标为_，准线方程为_2 过点(1,2) 的抛物线的标准方程为_3 焦点在直线 xy 1 上的抛物线的标准方程为_4 设抛物线 y2mx 的焦点到直线 x1 的距离为 2，则 m_.5 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y22px( p0)上，求这个正三角形的边长答案：一、1x0 右 增大2轴3顶点 坐标
8、原点4离心率 1【做一做 1】(0,0) x 轴(直线 y0)二、坐标轴 四种 y 22px x 轴 x 2py( p0) 2py(p0) y 轴 ( p2，0) p2y (0，p2) (0， p2) p2【做一做 2】(0,1) y1典型例题领悟【例 1】解：(1)由抛物线的标准方程知抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上，开口向下p4，焦点坐标为(0， 2)，准线方程为 y2.(2)将 2y27x0 变形为标准方程是 y2 x.722p ，p ，开口向左72 74焦点坐标为 ，准线方程为 x .( 78，0) 78【例 2】解：(1)设抛物线的标准方程为 y22px 或 x2 2py(p0)，则
9、将点( 3,2)代入方程得 2p 或 2p ，故抛物线方程为 y2 x 或 x2 y.43 92 43 92(2)令 x0，由方程 x2y 40 得 y2.抛物线的焦点为(0，2)设抛物线的标准方程为 x22py，则由 2，得 2p8.p2所求的抛物线的标准方程为 x28y.令 y0，由 x2y 40 得 x4.抛物线的焦点为(4,0)设抛物线的标准方程为 y22px，由 4 得 2p16.p2所求抛物线的标准方程为 y216x.综上，所求抛物线的标准方程为 x28y 或 y216x.【例 3】解：在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点) 与坐标原点重合， x
10、 轴垂直于灯口直径，如图所示设抛物线标准方程为 y22px(p0)，由已知条件可得 A 点的坐标是(40,30)，代入方程，得 3022p40，p .454所求抛物线的标准方程为 y2 x，焦点的坐标为 .452 (458，0)【例 4】正解：当 m0 时，其准线方程为 x 2，m4m8，此时抛物线的标准方程为 y28x；当 m0 时，其准线方程为 x 4，m4m16，此时抛物线的标准方程为 y216x.所求抛物线的标准方程为 y28x 或 y216x.随堂练习巩固1(0,4) y4 2y 24x 或 x2 y123y 24x 或 x24y412 或4 当 m0 时，由题意得 12，故 m12.m4当 m0 时，由题意得 12，故 m4.m45解：如图，设正三角形 OAB 的顶点 A，B 在抛物线上，且坐标分别为( x1，y 1)，(x2，y 2)，y 2px 1，y 2px 2，21 2又|OA|OB|，x y x y ，21 21 2 2即 x x 2px 12px 20.21 2(x 1 x2)(x1 x22p)0.x 10，x 20,2p0，x 1x 22p0，x 1x 2.即 A，B 两点关于 x 轴对称，则AOx30.ABx 轴，y 1x 1tan 30 x1.33又x 1 ，y 12 p.y212p 3而|AB| 2y14 p，即为所求边长3
