1、数学人教 B 选修 1-1 第二章 2.3.1 抛物线及其标准方程了解抛物线的定义及其标准方程1抛物线的定义平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(_)的距离_的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的_，直线 l 叫做抛物线的_，_的距离(定长 p)叫做抛物线的焦参数【做一做 1】抛物线定义中的定点是其_，定直线是其_抛物线定义中的定点 F 不在定直线 l 上，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点 F 与l 垂直的一条直线2抛物线的标准方程方程 y2_叫做抛物线的标准方程它所表示的抛物线的焦点在 x 轴的_半轴上，坐标是_；它的准线方程是_，其中 p 是_的距离(焦参数) 【做一做 2】抛物线
2、y24x 的焦点坐标是_，准线方程是_(1)抛物线中焦参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离(2)由于建立的坐标系不同，所得抛物线的方程也不同本节中所建坐标系得到的是焦点在 x 轴的正半轴上的标准方程，下一节课还要学习其他形式的标准方程1如何理解抛物线的定义？剖析：(1)抛物线的定义用集合语言表示：P M|MF|d(d 为 M 到定直线 l 的距离)(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为 M 点；一个定点 F(抛物线的焦点) ；一条定直线 l(抛物线的准线 )；一个定值(即点 M 到点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比等于 1)(3)抛物线定义中的定点 F 不在定直线 l
3、上，否则动点 M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 与 l 垂直的一条直线(4)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质2抛物线的图象是双曲线的一支吗？剖析：虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来相似，但绝不能把抛物线当成是双曲线的一支当抛物线上的点趋向于无穷远时，点的切线接近于和 x 轴平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，点的切线接近于与渐近线平行抛物线没有渐近线；从方程上看，抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别题型一 抛物线的定义及应用【例 1】若点 A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线 y22x 的焦点，点 P 在该抛
4、物线上移动，为使得| PA| PF|取得最小值，求点 P 的坐标分析：显然点 A 在抛物线的内部，联想到平面上“到两定点距离之和最短的点在两定点连线所成的线段上”这一几何性质，欲使抛物线上一点到两定点 A，F 的距离和最短，需将 A， F 中的一个点转移到抛物线的外部，使其与另一点的连线与抛物线相交，则交点即为所求反思：求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量转换，转换为(1)的情形即可题型二 求抛物线的焦点坐标和准线方程【例 2】已知抛物线的方程如
5、下，分别求它们的焦点坐标和准线方程(1)y2ax(a0)；(2)3x 2y 2.分析：先根据抛物线的标准方程，求出 p，然后写出焦点坐标和准线方程反思：根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化成标准方程，求出 的值，p2即可写出焦点坐标和准线方程题型三 求抛物线的标准方程【例 3】(1)已知抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是 4，则该抛物线的标准方程为_(2)已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，抛物线上的点 M(3，m) 到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值分析：解第(2)题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点 M 在抛物线上和点M 到
6、焦点的距离等于 5，列出关于 m，p 的方程组，解关于 m，p 的方程组；其二利用抛物线的定义，可得点 M 到准线的距离为 5，直接得到 p 的关系式，求出 p 值反思：涉及抛物线上一点与焦点距离的问题时，要注意利用定义转化为该点到准线的距离，可简化计算1(2010安徽高考)抛物线 y28x 的焦点坐标是_2 抛物线 x4y 20 的准线方程是_3 若点 A 的坐标为(2,2)，F 为抛物线 y24x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动，为使得|PA| PF|取得最小值，则 P 点的坐标为_4 若抛物线 y22px (p0)的准线方程为 x3，则抛物线方程是_5 若抛物线的焦点在 x 轴的正半轴
7、上，其上一点 M(4，a)到焦点的距离等于 7，则抛物线的标准方程为_答案：基础知识梳理1Fl 相等 焦点 准线 焦点到准线【做一做 1】焦点 准线22px(p0) 正 x 焦点到准线(p2，0) p2【做一做 2】(1,0) x1典型例题领悟【例 1】解：由抛物线的定义，|PF |等于点 P 到抛物线准线的距离 |PP|，如图所示因此，当且仅当 P，A，P 在同一条直线上时，有|PF |PA|PP| |PA|最小，此时点P 的纵坐标等于点 A 的纵坐标，即 y2，将 y2 代入 y22x ，求得此时点 P 的坐标为(2,2)【例 2】解：(1)由抛物线的标准方程 y2ax(a0) 知，2pa
8、.故 .p2 a4因此，所给抛物线的焦点为 ，准线方程为 x .(a4，0) a4(2)把所给的抛物线方程变形为标准方程得 y2 x，32故 2p ，即 .32 p2 38因此，所给抛物线的焦点为 ，准线方程为 x .(38，0) 38【例 3】(1)y 28x 因为焦点到准线的距离是 4，所以 p4，2p8.又焦点在 x 轴正半轴上，故所求抛物线的标准方程为 y28x.(2)解：解法一：设抛物线的标准方程为 y22px(p0) ，则焦点 F ，由题设可得(p2，0)Error!解得Error! 或Error!故所求的抛物线方程为 y28x，m 的值为2 .6解法二：设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，焦点 F ，准线方程 x ，根据(p2，0) p2抛物线定义，点 M 到焦点的距离等于 M 到准线的距离，则3 5，解得 p4.p2因此抛物线方程为 y28x .又点 M(3，m)在抛物线上，所以 m224，解得 m2 .6故所求的抛物线方程为 y28x，m 的值为2 .6随堂练习巩固1(2,0) 2x 3(1,2) 4y 212x1165y 212x 设抛物线的标准方程为 y22px(p0) ，由抛物线的定义得4 7，p6.p2故所求抛物线的标准方程为 y212x.
