1、课堂探究探究一 抛物线的定义及应用抛物线定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点；一个定点 F；一条定直线 l；一个定值抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，因此两者可以相互转化，这也是利用抛物线定义解题的方便之处【典型例题 1】 设 P 为抛物线 y24x 上的一个动点(1)求点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值；(2)若 B(3,2)，求|PB|PF|的最小值思路分析：本题主要考查抛物线中的最值问题，利用数形结合的思想寻求解题思路解：(1)抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.因为点 P 到准线 x1 的距离等于点
2、P 到 F(1,0)的距离，所以问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到 A(1,1)的距离与 P 到 F(1,0)的距离之和最小连接 AF，如图(1)所示，图(1)显然 P 是 AF 与抛物线的交点，最小值为|AF| .5图(2)(2)同理|PF|与点 P 到准线的距离相等如图(2)所示，过 B 作 BQ准线于 Q，交抛物线于点 P1.由题意知|P 1Q| |P1F|，所以|PB| PF|P 1B|P 1Q|BQ|4.所以|PB| PF|的最小值为 4.点评：求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点
3、；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量转换，转换为(1)的情形即可探究二 求抛物线的标准方程、焦点、准线方程求抛物线的标准方程时，从形式上看，只需要求出参数 p 即可而要求抛物线的焦点坐标、准线方程，则首先要将抛物线方程化成标准形式，求出 p 的值后，再写出焦点和准线方程【典型例题 2】 已知抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点 M(3，m) 到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和 m 的值(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程思路分析：设出抛物线方程，利用抛物线的定义得出 p 的关系式，求出 p 的值，再用代入法求 m 的值解：(1)设抛物线的标准方程为 y22px(p0)
4、，焦点为 F ，准线方程 x ，根(p2，0) p2据抛物线定义，点 M 到焦点的距离等于点 M 到准线的距离，则3 5，解得 p4.p2因此抛物线方程为 y28x .又点 M(3，m)在抛物线上，所以 m224，解得 m2 .6故所求的抛物线方程为 y28x，m 的值为2 .6(2)因为 p4，所以抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是 x2.探究三 易错辨析易错点 忽略抛物线中变量的取值范围【典型例题 3】 设点 A 的坐标为(a,0)(aR)，则曲线 y24x 上的点到点 A 的距离的最小值为多少？错解：设曲线上的任意一点 B(x，y)到点 A 的距离为 d，则 d2(xa)2y 2x 2(2a4)xa 2x( a2) 2(4a4) 因为 aR，所以当 xa2 时，d 2 取最小值 4a4.所以 dmin2 .a 1错因分析：在求与抛物线有关的最值时，要充分利用抛物线所隐含的条件，注意坐标的取值是否满足抛物线的范围错解中既忽略了抛物线中 x 的取值范围，也忽略了对 a 的讨论正解：设曲线上任意一点 B(x，y)到点 A 的距离为 d，则 d2(xa) 2y 2x 2(2a4)xa 2 x( a 2)2(4a4) 由题意知 x0，)，所以当 a2 时，d 4a4，d min2 ；2min a 1当 a2 时，d a 2，d min|a|.2min
