1、课堂探究探究一 充分条件、必要条件的判断要判断 p 是 q 的充分条件、必要条件首先应分清条件 p 和结论 q，然后按下面的一般步骤进行判断(1)判定“若 p，则 q”的真假(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件【典型例题 1】 在下列各题中，判断 p 是 q 的什么条件(1)p：x20，q：(x2)( x3) 0；(2)p：m2， q：方程 x2xm0 无实根；(3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等思路分析：解决此类问题就是要判定命题“如果 p，则 q”和命题“如
2、果 q，则 p”的真假解：(1)因为 x20 (x2)(x3)0，而(x2)(x3)0 x20，所以 p 是 q 的充分不必要条件(2)因为 m 2 方程 x2xm 0 无实根，而方程 x2xm0 无实根 m2，所以 p 是 q 的充分不必要条件(3)因为 p q，而 q p，所以 p 是 q 的充分不必要条件探究二利用充分条件、必要条件求参数的范围解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决【典型例题 2】 已知 p：x 28x200，q：x 22x1m 20(m0) ，若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数
3、 m 的取值范围思路分析：根据 q 是 p 的充分不必要条件，找出 p 和 q 对应的集合间的关系，列出不等式组，求出 m 的范围解：令命题 p 对应的集合为 A，命题 q 对应的集合为 B，由 x28x200，得(x10)(x2)0，解得2x10，所以 A x|2x 10又由 x22x1m 20，得x(1m)x (1m) 0 ，因为 m0，所以 1mx1m，所以 B x|1mx1m， m0因为 q 是 p 的充分不必要条件，所以 B A.所以Error! 且两等号不能同时成立解得 0m3.经检验知 m3 时符合题意所以 m 的取值范围是(0,3 规律小结 用集合的观点理解充分条件、必要条件和
4、充要条件：首先建立与 p，q 相对应的集合，即 p：Ax|p(x)，q：Bx|q(x).若 A B，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件若 B A，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件若 AB，则 p，q 互为充要条件若 A B，B A，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件探究三 充要条件的证明与探求要证明一个条件 p 是否是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若 p，则 q”为真且“若 q，则 p”为真在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明 p 与 q 的解集是相同的
5、，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性；(2)等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件【典型例题 3】 已知 ab0，求证：ab1 的充要条件是 a3b 3aba 2b 20.思路分析：(1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论证明：先证必要性：因为 ab1，即 b1a，所以 a3b 3aba 2b 2a 3(1a) 3a(1a) a 2(1a)2a 313a3a 2a 3aa 2a 212aa 20.再证充分性：
6、因为 a3b 3aba 2b 20，即(ab)(a 2ab b 2)(a 2ab b 2)0，所以(ab1)( a2abb 2)0.由 ab0，即 a0，且 b0，所以 a2abb 20，只有 ab1.综上可知，当 ab0 时，ab1 的充要条件是 a3b 3aba 2b 20.【典型例题 4】 求关于 x 的方程 ax22x 10 至少有一个负实根的充要条件思路分析：结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解解：a0 时，方程有一个负实根a0 时，显然方程没有零根若方程有两个异号的实根，则 a0；若方程有两个负实根，则Error!解得 0a1.综上知：若方程至少有一个负实根，则
7、a1；反之，若 a1，则方程至少有一个负实根因此，关于 x 的方程 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是 a1.点评 若令 f(x)ax 22x 1，由 f(0)10，可排除方程一个根为负根，另一根为 0的情形，并要注意，不能忽视对 a0 的特殊情况进行讨论探究四 易错辨析易错点 充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价【典型例题 5】 已知 p：Ax|x 25x 60 ，q：Bx |1x2a ，且 p 是 q 的充分条件，求 a 的取值范围错解：由 x25x 60，得1x 6.因为 p 是 q 的充分条件，故 2a6，即 a3.所以 a 的取值范围为 a3.错因分析：“p 是 q 的充分条件 A B”，而错解用了 “p 是 q 的充分条件A B”，导致丢掉等号的错误正解：由 x25x 60，得1x 6，因为 p 是 q 的充分条件，即 A B，故 2a6，即 a3，所以 a 的取值范围为 a3.
