1、典题精讲例 1 已知向量 a、b，比较|a+b|与|a|+| b|的大小.思路分析：因为向量包含长度和方向，所以在比较和向量长度的大小时，要考虑其方向.解：(1)当 a、b 至少有一个为零向量时，有 |a+b|=|a|+|b|；(2)当 a、b 为非零向量且 a、 b 不共线时，有| a+b|a-b|a|-|b|；(三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边的向量表示)当 a、b 为非零向量，且 a、b 同向共线时,|a|+|b| a+b|=|a|-|b|,当 a，b 为非零向量，且 a，b 异向共线时，|a|+|b |=|a+b|a|-|b|,所以|a|+|b|a-b|a|-|b |
2、.例 2 化简下列各式：(1) ；(2) (4 a-3b)+ b- (6a-7b).OBP3214思路分析：对于(1)，可以利用三角形法则对向量进行分解；对于 (2),利用向量线性运算的运算法则化简.解：(1) )(OBPO=0+2 =2 ；BOP(2) (4 a-3b)+ b- (6a-7b)= (4a-3b+ b- a+ b)32143212347= (4- )a+(-3+ + )b= ( a- b)= a- b.3758绿色通道：向量加法的三角形法则可以推广为多边形法则，另一方面可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示，使用向量的数乘的结合律与分配律可以化简向量式子.变式训练 (200
3、6 全国高考卷，理 9) 设平面向量 a1、a 2、a 3 的和 a1+a2+a3=0.如果向量 b1、b 2、b 3 满足|b i|=2|ai|，且 ai 顺时针旋转 30后与 bi 同向，其中 i=1,2,3，则( )A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0思路解析：如图 2-2-8 所示,图 2-2-8|b i|=2|ai|,假设旋转角度的方向为逆时针,可得OABOAB且相似比为 12.a1+a2+a3=0,b1+b2+b3=0.答案：D例 3 已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线，且 ke1+e2 和 e1+ke2 共线
4、，求实数 k 的值.思路分析：向量 a,b 共线,则一定存在实数 ,使 a=b 成立.解：ke 1+e2 和 e1+ke2 共线，存在实数 ，使得 ke1+e2=(e1+ke2).(k-)e 1=(k-1)e2.e 1 和 e2 不共线， .,0kk=1.绿色通道：本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于 k 的方程，用待定系数法解决问题.变式训练 若 3m+2n=a，m-3 n=b，其中 a、b 是已知向量，求 m、n.思路分析：此题可把已知条件看作向量 m、n 的方程，通过方程组求解 m、n.解:记 3m+2n=a,m-3n=b,3，得 3m-9n=3b.-,得 11n=
5、a-3b.n= a- b.1将代入,有 m=b+3n= a+ b.132例 4 一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度和船实际速度.思路分析：本题要求的是速度，而速度是向量，因此可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可.图 2-2-9解：如图 2-2-9， 表示水流速度， 表示船垂直于对岸方向行驶的速度， 表示船OAOBOC的实际速度，AOC=30，| |=5 km/h，四边形 ABCD 为矩形，| |=| |cot30= ，C35| |= =10.OC2350cos|A水流速度为 km/h,船实际速度为 10 km/h.绿色
6、通道：用向量法解决物理问题的步骤为：(1)用向量表示物理量； (2)进行向量运算；(3)回扣解决问题.变式训练 一架执行救灾任务的飞机从 A 地按北偏西 30的方向飞行 300 km 后到达B 地，然后向 C 地飞行.已知 C 地在 A 地北偏东 60的方向处，且 A、C 两地相距 300 km，求飞机从 B 地向 C 地飞行的方向及 B、C 两地的距离.思路分析：首先根据题意作出图形(如图 2-2-10)，然后由 A 地确定 B、C 两地的方位与距离.解：根据题意和图形，可知BAC=90 ，| |=| |=300 km，则可得| |= km；A230又由于ABC=45,A 地在 B 地东偏南
7、 60的方向处，可知 C 地在 B 地东偏南 15的方向处.图 2-2-10问题探究问题 1 已知 n 个向量，依次把这 n 个向量首尾相连.以第一个向量的起点为起点,第 n个向量的终点为终点的向量叫做这 n 个向量的和向量.A 1、A 2、A 3 是平面内不共线的三点，则 等于什么？对于平面上不共线的四点 A1、A 2、A 3、A 4 上述结论是1321AA否成立？ 又等于多少?114nn导思：求多个向量的和，需要连续使用三角形法则，这也可以看作是应用了多边形法则.对向量求和的多边形法则应明确：(1)多边形法则适用于两个或两个以上的向量和的计算，三角形法则是多边形法则的特殊情形；(2)n 个
8、向量的和的结果仍是一个向量； (3)法则的要领是“头尾相接，头是头，尾是尾”，与向量加法的三角形法则相同.探究：由平行四边形法则,知 ，3121AA =0.类似地，根据向量求和的多边形法则,1321A有 ,即 =0.414321对这个结论的更一般的形式，即 n 个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了： =0.114321 AAnn问题 2 三人夺球的游戏的规则是：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜.现有甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，均为 a N，试探究丙需要多少力量小球静止？若甲、乙两
9、人的力量不等，则小球有可能静止吗？导思：互为相反向量的两个向量的和为 0,在物理中可以理解成两个力的合力为 0.解决本题首先要审好题，能从题目中提炼出数学模型，进而利用数学知识解决，这是解决文字题或应用题最关键的一个环节.探究：本题主要考查向量加法法则及相反向量的定义.设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为 a、b、c,根据题意，可知 a、b、c 三个向量两两夹角为 120，可先计算 a+b，由于|a |=|b|，易求| a+b|=|c|，且 a+b 平分 a、b 所成的角即方向与 c 相反，要使小球不动，则c=-(a+b)，所以丙需要与甲、乙相同的力量，小球就会静止 .若甲、乙两人力量不等，根据向量加法的平行四边形法则，a+b 的方向不可能与 c 相反，也就是说 a+b 与 c 不可能是相反向量，所以小球不可能静止.
