1、庖丁巧解牛知识巧学一、射影所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图 1-4-2，AB 在 AC 上的射影是线段 AC；BC 在 AC 上的射影是点C；AC、BC 在 AB 上的射影分别是 AD、BD，这样，RtABC 中的六条线段就都有了名称，它们分别是:两条直角边 (AC、BC)，斜边(AB)，斜边上的高(CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD 、BD).图 1-4-2二、直角三角形的射影定理由于角之间的关系，图 1-4-2 中三个直角三角形具有相似关系，
2、于是 RtABC 的六条线段之间存在着比例关系.ACDCBD,有 ，转化为等积式，即 CD2=ADBD；BDCAACDABC,有 ，转化为等积式，即 AC2=ABAD；BCDBAC,有 ，转化为等积式,即 BC2=BABD.A用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.联想发散 这一结论常作为工具用于证明和求值.如图 1-4-3，在 RtABC 中，C90，CD 是 AB 上的高.已知 AD4，BD 9，就可以求 CD、AC.由射影定理，得CD2=ADBD=4936.因为边长为正值，所以 CD6,AC 2
3、=ADAB=4(49)52.所以AC .13我们还可以求出 BC、AB,以及ABC 的面积等.问题探究问题 1 在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图 1-4-3，在 RtABC 中，C90，那么 AC2BC 2=AB2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？图 1-4-3思路:将射影定理产生的式子 AC2=ABAD 和 BC2=BABD 左右两边分别相加.探究:如图 1-4-3，在 RtABC 中，C 90，CD 是 AB 上的高.应用射影定理，可以得到AC2BC 2ADABBDAB=(ADBD)AB=AB 2.由此
4、可见，利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多.将两者结合起来，在直角三角形的六条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度.问题 2 几何图形是最富于变化的，直角三角形更是如此，但不管怎样变化，其基本图形体现的规律却是相同的，如射影定理的基本图形.这时，从复杂图形中分离出基本图形，就成为解决问题的关键.那么从复杂图形中分离出基本图形有什么窍门呢？你能举例说明吗？思路:从所给图形中分离出基本图形，利用基本图形写出结论.探究:在图形的变化中熟悉并掌握
5、射影定理的使用方法，有助于快速发现解题思路.这当中的关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形.如:(1)在图 1-4-4(c)中，求证:CFCA=CGCB.(2)在图 1-4-4(a)中，求证:FGBC=CEBG.(3)在图 1-4-4(d)中，求证: CD 3=AFBGAB；BC 2AC 2=CFFA;BC 3AC 3=BGAE.就可以这样来思考 :图 1-4-4在第(1)题中，观察图形则发现分别使用 CD2=CFCA 和 CD2=CGCB 即可得到证明.第(2)题可用综合分析法探求解题的思路: 欲证 FGBC=CEBG，只需证 ，而这四BCEGF条线段分别属于BFG 和BEC，能发
6、现这两个三角形存在公共角EBC ，可选用“两角对应相等”或“两边对应成比例，夹角相等” 来证明相似.或者在图 1-4-4(a)中可分解出两个射影定理的基本图形:“RtADE 中 DGBE” 及“Rt BDC中 DFBC”，在两个三角形中分别使用射影定理中的 BD2 进行代换，得到BGBE=BFBC，化成比例式后，可用“ 两边对应成比例，夹角相等 ”来证明含有公共角EBC 的BFG 和BEC 相似.你可以尝试着自己分析第(3)小题.典题热题例 1 如图 1-4-5(a)中，CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上，DFAC，DG BE，F、G 分别为垂足.求证:AFAC=BGBE.思路分析：从
7、图 1-4-5 中分解出两个基本图形 145(b)和(c) ，再观察结论，就会发现，所要证的等积式的左、右两边分别满足图 1-4-5(b)和(c)中的射影定理:AFAC=AD2， BGBE=DB2，通过代换线段的平方(AD 2=DB2)，就可以证明所要的结论.图 1-4-5证明：CD 垂直平分 AB，ACD 和BDE 均为直角三角形，并且 AD=BD.又DFAC ， DGBE，AFAC=AD 2，BGBE=DB 2，AD 2=DB2, AFAC=BGBE.深化升华 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形的剖析.例 2
8、 如图 1-4-6，在ABC 中， CDAB 于 D，DE AC 于 E，DFBC 于 F，求证:CEFCBA.图 1-4-6思路分析：要证明CEFCBA，题设中已具备了BCA=ECF，再找出一对角相等就不太容易了，因此，考虑证明BCA 与ECF 的夹边成比例，即 ，即证CAFBECECA=CFCB，再从已知条件出发考虑问题，在 RtADC 中，DEAC，根据定理能推出 CD2=CECA，同理可得 CD2=CFCB,这样，CECA=CFCB，问题就能得证.证明：ADC 是直角三角形，DEAC，CD 2=CECA.同理，可得 CD2=CFCB.CECA=CFCB,即 .CAFBE又BCA=ECF
9、 ，CEFCBA.深化升华 当题目中缺少角相等时，应该考虑利用相等的角的两边对应成比例，即及时转换解题思路，而不能只想到找两对角相等，因为我们还有其他的判定定理.例 3 如图 1-4-7，已知 RtABC 中,ACB=90 ，CDAB 于 D，DEAC 于 E，DFBC于 F，求证:AEBFAB=CD 3.图 1-4-7思路分析：分别在三个直角三角形 RtABC、RtADC 、RtBDC 中运用射影定理，再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明.证明：RtABC 中,ACB=90， CDAB，CD 2=ADBD.CD 4=AD2BD2.又Rt ADC 中，DEAC，Rt BDC 中，DFBC，
10、AD 2=AEAC，BD 2=BFBC.CD 4=AEBFACBC.又ACBC=ABCD，CD 4=AEBFABCD.AEBFAB=CD 3.例 4 如图 1-4-8，在ABC 中 ,D、F 分别在 AC、BC 上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求 AC.图 1-4-8思路分析：由数形结合易知ABC 是直角三角形，AF 为斜边上的高线，CF 是直角边 AC在斜边上的射影，AC 为所求，已知的另外两边都在BDC 中，且 BDDC1，即BDC是等腰三角形.因此，可以过 D 作 DEBC，拓开思路.由于 DE、AF 都垂直于 BC，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得 AC.解：在AB
11、C 中，设 AC 为 x，ABAC ，AFBC，又 FC1，根据射影定理,得 AC2=FCBC，即 BCx 2.再由射影定理,得 AF2=BFFC=(BC-FC)FC，即 AF2=x2-1.AF= .12x在BDC 中，过 D 作 DEBC 于 E，BDDC1，BEEC.又AFBC，DEAF， .DE= .ACDFxAF12在 Rt DEC 中， DE 2EC 2=DC2，即( )2( )2=12, =1.x141x由 ,DE= ,整理得 x6=4.ACDFExF2x= .AC= .323深化升华 本题体现了对基本图形、基本性质的综合应用.还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.
