1、典题精讲例 1 已知数轴上的两点 A(x1)、B(x 2)，求线段 AB 中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设 AB 中点为 O(x)，O(x)是 AB 的中点，AO=OB.又 A(x1)、B(x 2)，AO=x-x1，OB=x 2-x.由 x-x1=x2-x 得 x= ，1x中点坐标为 O( ).12绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点 A(x1)、B(x 2)，则线段 AB 中点 O的坐标为( ).21x变式训练 1 已知数轴上的两点 A(x1)、B(x 2)，C 是线段 AB 的中点，D 是线段 AC 的中点，求点 C 的坐标.
2、解:根据中点坐标公式，由题意知 C( ),12x则 D( ),即 D( ).21x4312例 2 根据下列条件，在数轴上分别画出点 P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x， 2)1；(2)|x-2|1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点 P(x)即可.解：如图:图 2-1-(1,2)-2B(1)、A(2) 、C(3)、D(4).(1)d(x， 2)1 表示到点 A(2)的距离小于 1 的点的集合，d(x，2)1 表示线段 BC(不包括端点 ).(2)|x-2|1 表示到点 A(2)的距离大于 1 的点的集合，|x-2|1 表示射线 BO 和射线 CD(不包括顶点).
3、(3)|x-2|=1 表示到点 A(2)的距离等于 1 的点的集合，|x-2|=1 表示点 B(1)和点 C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练 2|x-2|+|x-3|的最小值是_.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点 A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3| 表示数轴上的任意一点 C(x)到点 A(2)的距离与到点 B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|AB|=1.答案:1例 3 已知 A(-2，3)、B(2，-4)两点，求 d(A，B).思路分析
4、:直接代入两点间距离公式即可 .解： x1=-2，x 2=2，x=x2-x1=2-(-2)=4.又 y1=3，y 2=-4，y=y2-y1=(-4)-3=-7.d(A，B)= ,)(2yxd(A，B)= .65742答：d(A ，B)= .黑色陷阱：套用错误公式 d(A,B)= .61)()(221yxyx变式训练 3 已知点 A(1，4) 、 B(4，0)，在 x 轴上的点 M 与 B 的距离等于点 A、B 之间的距离，求点 M 的坐标.解： 点 M 在 x 轴上，设 M(a，0)，则|a-4|= =5.22)40()(解得 a=-1 或 a=9.M(-1，0) 或 M(9，0).例 4 用
5、坐标法证明定理:如果四边形 ABCD 是长方形，则对任一点 M，等式AM2+CM2=BM2+DM2 成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时 ,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点( 如证法二).证法一:建立如图 2-1-(1,2)-3 所示的坐标系，设长方形 ABCD 的长为 a、宽为 b，图 2-1-(1,2)-3则 A(0， b)、B(0 ，0)、C(a，0)、D(a，b)，设 M(x，y)，AM2+CM2=(y-b) 2+(x-0)2
6、+ (y-0) 2+(x-a)2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.又 BM2+DM2=(y-0) 2+(x-0)2+ (y-b) 2+(x-a)2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2，AM2+CM2=BM2+DM2.证法二:建立如图 2-1-(1,2)-4 所示坐标系，图 2-1-(1,2)-4设 A(a， b)、B(-a，b)、C(-a，-b)、D(a，-b)、M(x，y) ，则|MA| 2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x2+y2+a2+b2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(
7、x2+y2+a2+b2),AM2+CM2=BM2+DM2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练 4 已知点 A(1，1) 、 B(5，3)、C(0，3) ，求证: ABC 为直角三角形.证明：AB= ,52)13()5(2AC= ，10BC= ,)()(22显然有 AB2+AC2=BC2.ABC 为直角三角形.变式训练 5如图 2-1-(1,2)-5 所示平面直角坐标系中,在等腰梯形 ABCO 中，底 AB=2，腰AO=4， AOC=60，试求:图 2-1-(1,2)-5(1)A、B、C 三点的
8、坐标；(2)梯形 ABCO 的面积 S.解：(1)如图 2-1-(1,2)-5，过点 A、B 作 AEx 轴，BFx 轴，AO=4， AOC=60,|AE|=|BF|=|AO|sin60= ,32|OE|=|FC|=|AO|cos60=2.A(2， )、B(4， )、 C(6，0).32(2)|AB|=2，|OC|=6，|AE|= ，32S= (2+6) = .218问题探究问题 在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.
