1、第 4 课时 分段函数定 义 ： 一 般 地 ， 如 果 有 实 数 a1， a2， a3k1,k,2k3b1,b2,b3且 a1 a2 a3函 数 Y 与 自 变 量 X 之 间存 在k1x+b1 xa 1y = k2x+b2 a1xa 2 的函数解析式，则称该函数解析式为 X 的分段函数。K3x+b3 a2x a 3 应该指出:(一), 函数解析式这个整体只是一个函数,并非是 Y=K1X+b1 Y=K2X+b2等 几 个 不同 函数的简单组合,而 k1x+b1, k2x+b2 是 函数 Y 的 几 种 不 同 的 表 达 式 .。 所 以 上 例 中 Y= 这个整体只是一个函数，不能认为它
2、是两个不同的函数 ， 只 能 说 110X 和 11080%X 是 同 一 函 数 中 的 自变 量 X 在 两 种 不 同 取 值 范 围 内 的 不 同 表 达 式 。(二 ),由 于 k1,k2,k3b1,b2,b3 是 实 数 ,所 以 函数 Y 在 X 的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分
3、段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例 1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间 （分钟）与相应话x费 （元）之间的函数图象如图 1 所示：y（）月通话为 100 分钟时，应交话费 元；（）当 x 100 时，求 与 之间的函数关系式； yx（3）月通话为 280 分钟时，应交话费多少元？图
4、 1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在 0 到 100 分钟之间月话费 y(元)是月通话时间 x(分钟)的正比例函数,当 x 100 时 , 月话费 y(元)是月通话时间 x(分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为 100 分钟时，应交话费 40 元； （2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b由图上知：x=100 时,y =40；x=200 时,时，y=60则有 ,解之得406kb1520k所求函数关系式为 yx（3）把 x=280 代入关系式 ,得151280765y即月通话为 280 分钟时，应交话费 76 元二、水费中的分段函数例 2（
5、广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费 y(元) 与用水量 x(吨)的函数关系如图 2.(1) 分别写出当 0 x 15 和 x 15 时,y 与 x 的函数关系式; (2)若某户该月用水 21 吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题 .观察图象可知, 0 x 15 时 y 是 x 的正比例函数; x15 时,y 是 x 的一次函数.解: (1)当 0 x 15 时,设 y=kx,把 x=15,y=27 代入,得 27=15k,所以 k= ,所以 y= x;当 x 15 59127时,设 y=ax+b,将 x=15,y=
6、27 和 x=20,y=39.5 代入,得5.39271a解得 a=2.5,b=-10.5所以 y=2.5x-10.5 图 2(2) 当该用户该月用 21 吨水时,三、电费中分段函数例 3 (广东) 今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费 y（元）与用电量 x（度）的函数图象是一条折线（如图 3 所示） ，根据图象解下列问题：（1）分别写出当 0 x 100 和 x 100 时，y 与 x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电 62 度，则应缴费多少元？若该用户某月缴
7、费 105 元时，则该用户该月用了多少度电？图 3分析:从函数图象上看图象分为两段 ,当 0 x 100 时,电费 y 是电量 x 的正比例函数,当 x 100 时, y 是 x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当 0 x 100 时,函数关系式为 y=kx,将 x=100,y=65 代入,得 k=0.65,所以 y=0.65x; 设当 x 100 时,函数关系式为 y=ax+b,将 x=100,y=65 和 x=130,y=89 代入,得解得 a=0.8,b=-15
8、.所以 y=0.8x-15.891365ba综上可得 0(10).5xy (2)用户月用电量在 0 度到 100 度之间时,每度电的收费的标准是 0.65 元;超出 100 度时,每度电的收费标准是 0.80 元.(3)用户月用电 62 度时,用户应缴费 40.3 元,若用户月缴费 105 元时,该户该月用了 150 度电.分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。这些分段函数都是直线型。通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。下面我们归纳分析如下，供学习时参考。1、二段型分段函数1.1 正比例函数与一次函数构成的分段函数解答
9、这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。例 1 某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修 3 天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成工程进度满足如图 1 所示的函数关系，该家庭共支付工资8000 元（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？解析：设正比例函数的解析式为：y=k 1x，因为图象经过点（3， ） ，所以， = k13，所以 k1= ，所以 y= x，0x34121设一次函数的解析式（合作部分）是 y=k2x+b， （ 是常数）0b， ，因为图象经过点（3， ） ， （
10、5， ） ，所以，由待定系数法得： ，解得： 215432bk 81,2bk一次函数的表达式为 ，所以，当 时， ，解得 81xy1y18x9x完成此房屋装修共需 9 天。方法 2解：由正比例函数解析式可知：甲的效率是 ，乙工作的效率： 1281241、 乙合作的天数： （天）31642甲先工作了 3 天， 完成此房屋装修共需 9 天 （2）由正比例函数的解析式：y= x，可知：甲的工作效率是 ，12所以，甲 9 天完成的工作量是： ，1324甲得到的工资是： （元） 38064评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的工作效率。例 2、一名考生步行前往考场， 10 分钟走了总路程的 ，估计步
11、行不能准时到达，于是他改乘出14租车赶往考场，他的行程与时间关系如图 2 所示（假定总路程为 1） ，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）A20 分钟 22 分钟 24 分钟 D26 分钟解析：步行前往考场，是满足正比例函数关系，设正比例函数的解析式为：y=k 1x，因为图象经过点（10， ） ，所以， = k110，所以 k1= ，所以 y= x，0x104401由正比例函数解析式可知：甲的效率是 ，40所以，步行前往考场需要的时间是：1 =40（分钟） ，乘出租车赶往考场，是满足一次函数关系，所以，设一次函数的解析式是 y=k2x+b， （ 是常数） ，0kb， ，因为图象经过点（
12、10， ） ， （12， ） ，所以，41由待定系数法得： ，解得：解得： ，21402bk 1,82bk一次函数的表达式为： ，所以，乘出租车赶往考场用的时间是：x= ，解得： 8xy 4381x=6 分钟，所以，先步行前往考场，后乘出租车赶往考场共用时间为：10+6=16 分钟，所以，他到达考场所花的时间比一直步行提前了：40-16=24（分钟） ，故选 C。评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的行使速度。例 3、某公司专销产品 A，第一批产品 A 上市 40 天内全部售完该公司对第一批产品 A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销
13、售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品 A 的销售利润与上市时间的关系（1）试写出第一批产品 A 的市场日销售量 y 与上市时间 t 的关系式；（2）第一批产品 A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？解析：(1) 由图 3 可得， 当 0 t30 时，市场日销售量 y 与上市时间 t 的关系是正比例函数，所以设市场的日销售量：y=kt， 点（30，60）在图象上， 60=30 k k=2即 y=2t， 当 30 t40 时，市场日销售量 y 与上市时间 t 的关系是一次函数关系，所以设市场的日销售量：y=k 1t+b，因为点（30，60）和（40，0
14、）在图象上，所以 ，1634kb解得 k 1=6， b=240 y=6 t+240 综上可知，当 0 t30 时，市场的日销售量： y=2t，当 30 t40 时，市场的日销售量：y=-6t+240。 (2) 由图 4 可得， 当 0 t20 时，市场销售利润 w 与上市时间 t 的关系是正比例函数，所以设市场的日销售量：w=kt， 点（20，60）在图象上， 60=20 k k=3即 w=3t， 当 20 t40 时，市场销售利润 w 与上市时间 t 的关系是常数函数，所以，w=60， 当 0 t20 时，产品的日销售利润：m=3t 2t =6t2 ； k=60，所以，m 随 t 的增大而增
15、大， 当 t=20 时，产品的日销售利润 m 最大值为：2400 万元。 当 20 t30 时，产品的日销售利润：m=602 t =120t， k=1200，所以，m 随 t 的增大而增大， 当 t=30 时，产品的日销售利润 m 最大值为：3600 万元； 当 30 t40 时，产品的日销售利润：m60(-6t+240)=-360t+14400；k=-3600，所以，m 随 t 的增大而减小， 当 t30 时，产品的日销售利润 mm 最大值为：3600 万元， 综上可知，当 t30 天时，这家公司市场的日销售利润最大为 3600 万元评析：本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考
16、查了同学们对分类思想的掌握情况，和对一次函数性质的理解和应用。1.2 一次函数与一次函数构成的分段函数例 4、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的若设小强每月的家务劳动时间为 x 小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为 y 元，则 y（元）和 x（小时）之间的函数图像如图 5 所示（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）若小强 5 月份希望有 250 元费用，则小强 4 月份需做家务多少时间？解：（1）从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为 150元 ； 当 0x20 时，y
17、（元）是 x（小时）的一次函数，不妨设y=k1x+150，同时，图象过点（20，200） ，所以，200=k 120+150，解得：k 1=2.5，所以，y=2.5x+150，当 20x 时，y（元）是 x（小时）的一次函数，不妨设 y=k2x+b，同时，图象过点（20，200） ， （30，240） ，所以， ，2403bk解得：k 2=4，b=120，所以，y=4x+120，所以，如果小强每月家务劳动时间不超过 20 小时，每小时获奖励 2.5 元；如果小强每月家务劳动时间超过 20 小时，那么 20 小时按每小时 2.5 元奖励，超过部分按每小时4 元奖励 （2）从图象上可知道，小强工作
18、 20 小时最多收入为 200 元，而 5 月份得到的费用为 250 元，大于 200 元，所以说明 4 月小强的工作时间一定超过 20 小时，所以应选择分段函数中当 20x 时的一段，所以，由题意得， ，1205x解得：x=32.5 答：当小强 4 月份家务劳动 32.5 小时，5 月份得到的费用为 250 元评析：本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对分段函数的选择能力。1.3 常数函数与一次函数构成的分段函数例 5、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图 6 所示；乙公司每月通话收费标准如表 1 所示（1）观察图 6，甲公司用
19、户月通话时间不超过 100 分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话 100 分钟以后，每分钟的通话费为 元；（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过 100 分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过 100 分钟，又将如何选择？解析：1）从图 6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，当 0 t100 时，话费金额 y=20；当 t100 时，话费金额 y 是通话时间 t 的一次函数，不妨设 y=kt+b，且函数经过点（100，20）和（200，40） ，所以， ,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t, 4021bk所以,甲公司用户月通话时间不超过
20、100 分钟时应付话费金额是 20 元；当甲公司用户通话 100 分钟以后，每分钟的通话费为 0.2 元；2)仔细观察表 1,可以知道乙公司每月通话收费 y=0.15t+2.5,当 0 t100 时，甲公司的话费金额 y=20；乙公司通话收费 y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以,李女士如果月通话时间不超过 100 分钟，她选择乙通迅公司更合算；因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，所以，当通话时间 t=500 分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；因为，0.15t+2.50.2t，所以，t500，所以，当通话时间 100t500 分钟时，选择甲公司；因为，0
21、.15t+2.50.2t，所以，t500，所以，当通话时间 t500 分钟时，选择乙公司；2、三段型分段函数例 6 如图 7，矩形 ABCD 中，AB1，AD2，M 是 CD 的中点，点 P 在矩形的边上沿 ABCM 运动，则APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）解析：1） 、当 0x1，y= x2=x；如图 8 所示；212） 、当 1x3，y=12- 2- （x-1）1- （3-x）2121= ；如图 9 所示；x453）当 3x3.5，y= （ -x）2217= -x；如图 10 所示；27所以 C、D 两个选项是错误的，又因为函数 y
22、= 中的 k=- 0，所以直线整体应该是分布在x415二、一、四象限，所以选项 B 也是错误的，所以选 A。评析：对于运动型问题，关键是根据题意借助分类的思想用变量 x 分别出图形的面积。在表示面积时，要注意整体思想的运用。3、四段型分段函数例 7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发 2 小时到达目的地，游玩 3 小时后按原路以原速返回，小强离家 4 小时 40 分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图 11，是他们离家的路程 y(千米)与时间 x(时)的函数图像。已知小强骑车的速度为 15 千米/时，妈妈驾车的速度为 60 千米/时。(1)小强家与游玩地的距离是多少？(2)妈
23、妈出发多长时间与小强相遇？解析：1）当 0x2，路程 y(千米)是时间 x(时)的正比例函数，且 k=15，所以 y=15x；所以，当 x=2 时，y=215=30，所以，小强家与游玩地的距离是 30 千米。2）当 2x5，路程 y(千米)是时间 x(时)的常数函数，所以 y=30；当 5x，路程 y(千米)是时间 x(时)的一次函数，且 k=-15，所以，设 y=-15x+b，又图象过点（5，30） ，所以 30=-75+b，所以 b=105，所以直线 BD 的解析式为：y=-15x+105； 仔细观察图象，可知道点 C 的坐标为（ ，0） ，且 k=60，所以，设 y=60x+b，314所
24、以 0=280+b，所以 b=-280，所以直线 CD 的解析式为：y=60x-280；设妈妈出发 t 小时出与小强相遇，所以，60 t -280=-15t+105，解得，t= ，157所以，妈妈出发经过： - = 小时与小强相遇。731454、五段型分段函数例 8、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离 y（千米）与所用的时间 x（小时）之间关系的函数图象.（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）求小明出发多长时间距家 12 千米？解：（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需 3 小时；此时，他离家 30 千米（2）设直线 CD 的解析式为 y=k1x+b1,由 C（2，15） 、D（3，30） ，代入得：y=15x-15（2x3）当 x=2.5 时，y=22.5（千米）答：出发两个半小时，小明离家 22.5 千米. （3）设过 E、F 两点的直线解析式为 y=k2x+b2，由 E（4，30） 、F（6，0） ，代入得 y=-15x+90,(4x6)，过 A、B 两点的直线解析为 y=k3x，B（1，15）y=15x.(0x1)分别令 y=12，得 x= （小时） ，x= （小时）5254答：小明出发经过 小时或 小时，离家 12 千米。46
