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2017年高中数学人教a版选修4-4学案:课堂导学 第二讲二圆锥曲线的参数方程 word版含解析.doc

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资源描述

1、课堂导学三点剖析一、利用参数方程求点的轨迹【例 1】 已知 A、B 分别是椭圆 =1 的左顶点和上顶点,动点 C 在该椭圆上运动,求9362yxABC 的重心 G 的轨迹的普通方程.解析:本题有两种思考方式,求解时把点 C 的坐标设为一般的(x 1,y1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cos,3sin)的形式,从而予以求解.解:由动点 C 在该椭圆上运动 ,故据此可设点 C 的坐标为 (6cos,3sin),点 G 的坐标为(x,y),则由题意可知点 A(-6,0)、B(0,3).由重心坐标公式可知.sin13si0,co2co6yx由此消去 得到 +(y-1)2=1,即为所求.4

2、)(x温馨提示本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得更简单、更便捷.各个击破类题演练 1已知双曲线 =1(a0,b0)的动弦 BC 平行于虚轴,M 、N 是双曲线的左、右顶点.2byax(1)求直线 MB、CN 的交点 P 的轨迹方程;(2)若 P(x1,y1),B(x2,y2),求证:a 是 x1、x 2 的比例中项.(1)解:由题意可设点 B(asec,btan),则点 C(asec,-btan),又 M(-a,0),N(a,0),直线 MB 的方程为 y= (x+a),absectn直线 CN 的方程为 y= (x-a).将以上两式相乘得点 P 的轨迹方

3、程为 =1.2byax(2)证明:因为 P 既在 MB 上,又在 CN 上,由两直线方程消去 y1 得 x1= ,而 x2=asec,所以seca有 x1x2=a2,即 a 是 x1、x 2 的比例中项.变式提升 1在直角坐标系 xOy 中,参数方程 (t 为参数) 表示的曲线是 _.1,2tyx解析:t= 代入 y=2t2-1 得 y=2( )2-1,即(x-1) 2=2(y+1).x答案:抛物线二、利用参数方程求坐标【例 2】 在椭圆 7x2+4y2=28 上求一点,使它到直线 l:3x-2y-16=0 的距离最短,并求出这一最短距离.解:把椭圆方程化为 =1 的形式,742yx则可设椭圆

4、上点 A 坐标为(2cos,7sin),则 A 到直线 l 的距离为 d= (其中 =arcsin13|6)sin(8|136sin2co6| ).43当 -= 时,d 有最小值,最小值为 .2138此时 =- ,sin=-cos= ,cos=sin= .474A 点坐标为( , ).23温馨提示用参数方程解决一些坐标问题,简单易行,本例是很典型的.类题演练 2椭圆 (为参数)的左焦点的坐标是_.sin3,co4yx解析:a=4,b=3,c= .坐标为 ( ,0).77答案:( ,0)变式提升 2在椭圆 =1(ab0)的第一象限的 上求一点 P,使四边形 OAPB 的面积最大,并求byax最大

5、面积.解析:如图,将四边形 OAPB 分割成OAP 与OPB,则 P 点纵坐标为 OAP 的 OA 边上的高,P点横坐标为OPB 的 OB 边上的高.解:设 P(acos,bsin),S 四边形 OAPB=SOAP +SOPB = absin+ abcos21= ab(sin+cos)= absin( +).2124当 = 时 ,四边形 OAPB 面积最大,最大面积为 ab,此时,P 点坐标为( a, b).422三、范围及最值问题【例 3】 圆 M 的方程为 x2+y2-4Rxcos-4Rysin+3R2=0(R0).(1)求该圆圆心 M 的坐标以及圆 M 的半径;(2)当 R 固定, 变化

6、时,求圆心 M 的轨迹,并证明此时不论 取什么值,所有的圆 M 都外切于一个定圆.思路分析:本题中所给的圆方程中的变数有多个 ,此时要结合题意分清究竟是哪个真正在变,而像这样的具体题目尤其容易犯弄不清真正的参数的错误.解:(1)由题意得圆 M 的方程为(x-2Rcos) 2+(y-2Rsin)2=R2,故圆心为 M(2Rcos,2Rsin),半径为 R.(2)当 变化时,圆心 M 的轨迹方程为 (其中 为参数),两式平方相加得sin,coRyxx2+y2=4R2,所以圆心 M 的轨迹是圆心在原点,半径为 2R 的圆.由于 =2R=3R-R, =2R=R+R,22)sin()cos(R 22)s

7、in()co(R所以所有的圆 M 都和定圆 x2+y2=R2 外切,和定圆 x2+y2=9R2 内切.类题演练 3曲线 C: (为参数 )的普通方程是,如果 C 与直线 x+y+a=0 有_公共点,sin1,cyx那么实数 a 的取值范围是_.解析:参数方程消去 得 x2+(y+1)2=1.曲线 C 与直线 x+y+a=0 有公共点 ,则圆心到直线的距离不超过半径长 ,即 1.1- a1+ .2|10|答案:x 2+(y+1)2=1 1- a1+ 2变式提升 3设 a、bR,a 2+2b2=6,则 a+b 的最小值是 _.解析:a 2+2b2=6, =1.36设 (为参数),sin,cobaa+b= cos+ sin=3sin(+),63其中 cos= ,sin= ,6即 a+b 的最小值是-3.答案:-3

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