1、课堂导学三点剖析一、用符号语言表示命题【例 1】指出下列命题中的全称量题，并用符号“ ”表示：(1)对任意实数 x,x2+3x+90；(2)对每一个整数 x， 0；(3)所有奇数都不能被 3 整除.解析：均为全称命题(1) xR,x2+3x+90(2) xZ, 0(3) x奇数，x 不能被 3 整除温馨提示用符号语言表示命题，一方面要说明命题所涉及的元素存在的范围，若元素是数，则用集合语言描述.另一方面要表明元素满足的结论.二、判断全称命题与存在性命题的真假【例 2】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题？并判断其真假.(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被 2 整除，又能
2、被 5 整除；(3) xx|x 是无理数，x 2 是无理数；(4) xx|xZ，log 2x0.解析：(1)全称命题，真命题.(2)存在性命题，真命题.(3)全称命题，假命题.例如 x= ，但 x2=3 是有理数3(4)存在性命题，真命题.温馨提示利用全称命题和存在性命题的定义来判断.应该注意的是，有些命题不含有量词，对这些命题的判断，要根据命题的意义，如“对顶角相等”，它含有所有的对顶角都相等的意思.三、利用全称命题、存在性命题求参数范围【例 3】 函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立且 f(1)=0(1)求 f(0)的值(2)当 x(0,
3、 )时， f(x)+2log ax,恒成立，求 a 的取值范围.21解析：(1)由已知等式 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,令 x=1,y=0 得 f(1)-f(0)=2,又因为 f(1)=0,所以 f(0)=-2.(2)由(1)知 f(0)=-2,所以 f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)x因为 x(0, )，所以 f(x)+2(0, ).2143要使 x(0, )时，f(x )+2log ax 恒成立，显然当 a1 时不可能，所以21 ,4321log0a解得 .143a各个击破类题演练 1指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并分别用
4、符号“ ”、 “ ”表示.(1)存在实数 a，b，使| a-1|+|b-1|=0；(2)对于实数 aR，a 0=1；(3)有些实数 x，使得|x +1|1.解：命题(1)，(3) 是存在性命题，命题(2) 是全称命题用“ ”、 “ ”分别表示为：(1) a,bR，|a-1|+|b-1|=0.(2) aR，a 0=1.(3) xR,|x+1|-3，而 .(3)是真命题 .mZ 且为偶数，(-1) m=1， 2m+ =2m，为315 )1(偶数.类题演练 3已知命题 p：方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实数根.命题 q：方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实数根.若“p 或 q”为真命
5、题， “p 且 q”为假命题，求 m 的取值范围 .解析：先将 p、q 中 m 的范围求出，然后根据 “p 或 q”为真， “p 且 q”为假，可知 p 和 q 中必是一真一假，则分两种情况列出不等式组求解.由 p 得 则 m2,由 q 知，02=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)0,则 1m3于是有 解得 m3 或 1m2.31或或变式提升 3若(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a4x4，则(a 0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值是 ( )A.1 B.-1 C.0 D.2解析：(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a4x4,3令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4=(2+ )4.令 x=-1，得 a0-a1+a2-a3+a4=(-2+ )4.(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a2+a4+a1+a3)(a0+a2+a4-a1-a3)=(2+3)4(-2+3)4=(-1)4=1.答案：A
