1、课后导练基础达标1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( )A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析:本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.首先要明确不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆,正方形也有渐开线；渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但是它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.答案：C2.给出下列说法：圆的
2、渐开线的参数方程不能转化为普通方程;圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程;圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A. B.C. D.解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题.对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.答案：C3
3、.已知圆的渐开线的参数方程是 ( 为参数) ，则此渐开线对应的基圆cossin,iyx的直径是_，当参数 = 时对应的曲线上的点的坐标为_.4解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为 1,故直径为 2.求当 = 时对应的坐标只需把 = 代入曲线的参数方程,x= + ,y= -4 282,由此可得对应的坐标为( + , - ).82282答案：2 ( + , - )8综合运用4.我们知道关于直线 y=x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线 ( 为)cos1(,inryx参数)关于直线 y=x 对称的曲线的参数方程为_-.解析:关于直线 y=x 对称的函数互为反函
4、数，而求反函数的过程主要体现了 x 与 y 的互换.所以要写出摆线方程关于直线 y=x 的对称曲线方程，把其中的 x 与 y 互换，即是交换 x 与 y 对应的参数表达式.答案： ( 为参数)sin(,co1ryx5.已知一个圆的摆线方程是 ( 为参数) ，求该圆的面积和对应的圆的渐开cos4,inyx线的参数方程.解：首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为 4,所以面积是 16.该圆对应的渐开线的参数方程是 ( 为参数).cos4sin,iyx拓展探究6.已知圆 C 的参数方程是 ( 为参数)和直线 l 对应的普通方程是 x-y-si62,co1yx=0.26(1)如果把圆心平移到原点 O，请问平移后圆和直线满足什么关系?(2)写出平移后圆的摆线方程.(3)求摆线和 x 轴的交点.解析:(1) 圆 C 平移后圆心为 O(0,0),它到直线 x-y- =0 的距离为 d= =6,2626恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是 6,所以可得摆线方程是 ( 为参数).cos6,inyx(3)令 y=0,得 6-6cos=0 cos=1.所以 =2k(kZ).代入 x 得 x=12k(kZ),即圆的摆线和 x 轴的交点为(12k,0)(kZ).
