1、互动课堂重难突破一、平行线分线段成比例定理1.定理:三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例.图 1-2-12.符号语言表示:如图 1-2-1 所示,abc, 则 = .BCAEFD3.定理的证明:若 是有理数 ,则将 AB、BC 分成相等的线段，把问题转BCA化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程还需到高等数学中实现.4.定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要 a、b、c 互相平行，构成一组平行线，m 与 n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线 a、b、c 相交，即被平行线 a、b、c 所截 .平行线的条数还可以更多.5.定理比例的变
2、式:对于 3 条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图 121):如果已知是 abc ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如 = , ACBDFE= 等，可以归纳为 = , = , = 等，便于记忆.CABFDE下上 下上 全上 全上 右左 右左二、平行线分线段成比例定理的推论1.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.2.符号语言表示:如图 1-2-2 所示，abc,则 = = .ABDCE图 1-2-23.推论的证明:直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好，实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线，此时要注
3、意正确识别图形，如图 1-2-3.图 1-2-3三、刨根问底问题 1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？ 探究: 我们学习的平行线等分线段定理 :如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.(如图 1-2-4，若 l1l 2l 3，ABBC，则 DE =EF)图 1-2-4 图 1-2-5 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图 1-2-5,若 l1l 2l 3,则 = .BCAEFD比较这两个定理可知:当截得的对应线段成比例 ,比值为 1 时,则有截得的线段相等,即当
4、= =1 时,则有 AB = BC,DE =EF,因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例.平行线等分线段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径.在使用平行线分线段成比例定理时,要特别注意“对应”的问题，如图 1-2-5 中的线段AB、BC、AC 的对应线段分别是 DE、EF、DF,由平行线分线段成比例定理有 = ,ABCDEF= , = .根据比例的性质,还可以得到 = , = , = .ACBDFEDEABF为了掌握对应关系，可根据对应线段的相对位置特征，把 = 说成是“上比全等C于上比全”，
5、把 = 说成是“左比右等于左比右” ，使用这种形象化语言，不仅能够按EBC要求或需要准确地写出比例式，而且也容易检查比例式是否正确.问题 2 证明线段相等的问题较常见，而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多.那么证明线段相等通常有哪些方法？我们现在学习的平行线分线段成比例定理及推论能发挥什么作用？探究:根据题设的不同，证明线段相等可以利用全等三角形的对应线段相等；等腰三角形、等腰梯形的两腰相等；平行四边形的对边相等，对角线互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等；关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等，以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等.现在学了线段成比例的
6、有关定理，也常用来证两线段相等，其方法是利用条件中有(或添作) 平行线或相似三角形，列出几组比例式进行比较而得出.活学巧用【例 1】如图 1-2-6,直线 l1l2l3,直线 m、n 分别交直线 l1、l 2、l 3 于点 A、B、C 和D、E 、 F,m、n 交于 O 点 ,AB =2,AC =5,EF =3,求 DE.图 1-2-6思路解析:要求 DE 的长,可以结合条件,直接利用“平行线分线段成比例”定理.解: l1l2l3,AB =2,AC =5,EF =3, = , = .ACBDFE53DE =2.【例 2】如图 1-2-7 所示，DE BC，EFDC，求证: AD2=AFAB.图
7、 1-2-7思路解析:要证 AD2=AFAB，只要证 = ，由于 AFAD、AB 在同一直线上，因ADFB此上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比.从基本图形中立即可找到过渡比为 .ACE证明: DEBC， = (平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成ABCE比例).EFDC, = . = ,DF即 AD2=AFAB.【例 3】如图 1-2-8 所示，已知直线 FD 和 ABC 的 BC 边交于 D，与 AC 边交于 E，与 BA的延长线交于 F，且 BD =DC，求证: AEFB =ECFA.图 1-2-8思路解析:本题只要证 = 即可.由于 与 没有直接联系，因此必须寻找过ECA
8、FBECAFB渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造.证明:过 A 作 AGBC，交 DF 于 G 点.AGBD, = .D又 BD =DC, = .FBADCGAGBD, = .E = ,即 AEFB =ECFA.【例 4】如图 1-2-9，已知 AD 是 ABC 的内角平分线,求证: = .ACBD图 1-2-9思路解析:AB、AC 不在同一直线上，而 BD 和 CD 在同一直线上.在同一直线上的两条线段的比往往和平行线有关，所以我们不妨考虑作一条平行线.证明:过点 C 作 CEAD，交 BA 的延长线于点 E,ADEC, = .AEBD又E = BAD,CAD =ACE,BAD =CAD,E =ACE.AC =AE. = .C【例 5】如图 1-2-10,已知 ABC 中,DE BC,CD、 BE 交于点 O,连结 AO 并延长交 BC 于点F,AO 交 DE 于点 G.求证: = .AFO图 1-2-10思路解析:由于 DEBC,所以 = ,进一步得 = ,而 = .在OGE 和AFGCEABCDEOOFB 中,由 GEFB 得 = ,从而得结论.OBE证明: DEBC, = , = , = , = .AFGCDBEOFG = .
