2017年高中数学人教a版选修4-4学案：互动课堂 第一讲三　简单曲线的极坐标方程 word版含解析.doc

1、互动课堂重难突破本课时的重点、难点是求曲线的极坐标方程,要重点掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程.一、在极坐标系中,平面曲线的极坐标方程 f(,)=0.1.一般地,在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(,)=0,并且坐标适合方程 f(,)=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(,)=0 称为曲线 C 的极坐标方程.2.在直角坐标系中，曲线可以用含有变量 x、y 的方程表示；同样地,在极坐标系中，曲线可以用含有 、 这两个变量的方程 f(,)=0 来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程.3.求曲线的极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线

2、看作适合某种条件的点的集合或轨迹；将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的关系式 f(,)=0 表示出来，就得到曲线的极坐标方程.具体如下：(1)建立适当的极坐标系，设 P(,)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.注意:(1)在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径 和极角 之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立 、 之间的关系.此法

3、称作三角形法.(2)在求曲线的极坐标方程时,关键是找出曲线上的点满足的几何条件 ,将它用坐标表示,再通过代数变换进行化简.二、用极坐标与直角坐标来表示点和曲线的区别.1.对极径 0) 且垂直于极轴的直线方程是 cos=a.2.过点(a,)(a0)且垂直于极轴的直线方程是 cos=-a,如图 (1).3.过点(a, )(a0)且平行于极轴的直线方程是 sin=a,如图(2).24.过点(a, )(a0)且平行于极轴的直线方程是 sin=-a,如图 (3).35.过极点倾角为 的直线方程是 =(R).(1) (2) (3)四、以下几种特殊位置的圆的极坐标方程也需要掌握.1.以极点为圆心且半径为 r

4、 的圆的极坐标方程 =r.2.过极点且圆心坐标为(a,0)( a0)的圆的极坐标方程为 =2acos.3.过极点且圆心坐标为(a,)(a0)的圆的极坐标方程为 =-2acos,如图(1).4.过极点且圆心坐标为(a, )(a0)的圆的极坐标方程为 =2asin,如图(2).25.过极点且圆心坐标为(a, )(a0)的圆的极坐标方程为 =-2asin,如图(3).3(1) (2) (3) 活学巧用【例 1】 求：(1)过 A(2, )且平行于极轴的直线方程；(2)过 A(3, )且和极轴成 的直线方程.4343解析:(1) 在直线上任意取一点 M，根据已知条件想办法找到变量 、 之间的关系.我们

5、可以通过图中的直角三角形来解决，因为已知 OA 的长度，还知 AOx= ，还可以得到 MH 的长度，从而在 RtOMH 中找到变量 、 之间的关系.(2)在三角形中利用正弦定理来找到变量 、 之间的关系 .解:(1)如图所示,在直线 l 上任意取点 M(,)， A(2, )，4|MH|=2sin = ,在 RtOMH 中,|MH|=|OM|sin,即 sin= ,42 2过 A(2, )且平行于极轴的直线方程为 sin= .(2)方法一:如图所示,A(3, )，|OA |=3,AOB= ，由已知MBx = ，3343OAB= .12534OAM=- .7又OMA=MBx-= -，在 MOA 中

6、，根据正弦定理得 ,127sin)-43sin(sin =sin( )= ，12743,62将 sin( -)展开，化简上面的方程，可得 (sin+cos)= 过 A(3, )且和极轴成.23的直线方程为 (sin+cos)=43.23方法二:利用教材 P15 例 3 的结论可得 sin( -)=sin( - )=3sin43.125点评:可以看到，在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.【例 2】判断点(- )是否在曲线 =cos 上？35,12解析:在极坐标系内，判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的.不能只是简单地将点的坐标代入，当

7、点的坐标代入不能满足方程时，我们还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解: 点(- )和点( )是同一点，而 cos =cos = ,35,212, 231点 ( )在曲线 =cos 上，即点 (- )在曲线 =cos 上.32,1235,12点评:我们容易根据直角坐标系的习惯,当把点的坐标代入，不满足方程时就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不相同的.在极坐标系中，尽管点(- )并35,21不满足 =cos ，但是据此并不能肯定这个点不在曲线上.2【例 3】设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连结 MA，自 M 作 MPMA 交 OA 于P，求 P 点的轨迹

8、方程.解:以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系,如图.设定圆 O 的半径为 r，OM=a，P( ,)是轨迹上任意一点.MPMA，|MA| 2+|MP|2=|PA|2，由余弦定理可知|MA| 2=a2+r2-2arcos，|MP| 2=a2+2-2acos,而|PA|=r-，由此可得 a2+r2-2arcos+a2+2-2acos=(r-)2，整理化简，得 = .cos)(点评:寻找一个关键三角形，使动点的极半径和极角与已知条件成为该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方法称为三角形法.若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.【例 4】极坐标方程分别是 =cos 和 =sin 的两个圆的圆心距是( )A.2B.2C.1D. 2解法一:两圆圆心的极坐标分别是 ( ,0)和( , ),这两圆心的距离是 .212解法二:将方程化为直角坐标方程 .因为 不恒为零,可以用 分别乘方程两边,得 2=cos 和2=sin.x2+y2=x 和 x2+y2=y.它们的圆心分别是( ,0)、(0, ),圆心距是 .12答案:D点评:可以用极坐标方程与直角坐标方程互化来判断曲线的形状,求解其他问题等.但记住特殊位置的曲线的极坐标方程会给解题带来方便.