1、课堂探究探究一相交弦定理的应用相交弦定理的结论是线段成比例，也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段，又可以建立方程来解决问题如下面的典型例题 1 中，利用相交弦定理列出关于 r 的方程【典型例题 1】如图，过O 内一点 A 作直线，交O 于 B，C 两点，且ABAC64，OA10，则O 的半径 r_.解析：如图所示，作直线 OA 交O 于 E，F 两点，则 AEr 10，AF r 10.由相交弦定理，得(r10)(r10)64，解得 r12 ， r22 (不合题意，舍去 )41 41故 r2 .41答案：2 41点评 BC 为O 的一条弦，再找到直径 EF，利用相交弦定理即可探
2、究二割线定理、切割线定理的应用有切线和割线，往往就考查割线定理、切割线定理，而且有时需要通过转化、代换，才能运用定理解题【典型例题 2】如图，已知O 的割线 PAB 交O 于点 A 和点 B，PA6 cm，AB8 cm， PO10.9 cm，求O 的半径思路分析：由于 PO 既不是 O 的切线，也不是割线，故需将 PO 延长交O 于点D，构成圆的一条割线，而 OD 又恰好是O 的半径，于是运用割线定理解题即可解：如图，将 PO 延长交O 于 D.根据割线定理，可得 PAPBPCPD.设O 的半径为 r cm，则6(68) (10.9r )(10.9r)，解得 r5.9，即O 的半径为 5.9
3、cm.反思 如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线，那么常用到割线定理本题中，利用割线定理列出了关于半径 r 的方程，进而求出了 r 的值【典型例题 3】如图，AB 切O 于 B，ACD 为割线，E 为 的中点，BE 交 DC 于ACDF，求证： AF2ACAD.思路分析：由切割线定理可知 ACADAB 2，故只需证 AFAB 即可证明：连接 BC，BD.E 为 的中点，ACDDBECBE.又 AB 是O 的切线，ABCCDB.ABCCBEDBE CDB，即ABF AFB.AB AF.又 AB 是O 的切线， ACD 为割线，由切割线定理可知 ACADAB 2，AF 2ACAD.点评 已知条
4、件中同时出现过圆外同一个点的切线和割线，那么常用到切割线定理探究三切线长定理的应用如果已知条件中出现过圆外同一点的切线，那么常用到切线长定理要注意分析其中的等量关系，即切线长相等，圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合直角三角形、相似三角形等图形的有关性质进行计算与证明【典型例题 4】如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点 C 的切线与过 A，B两点的切线分别交于点 E，F，AF 与 BE 交于点 P.求证：EPCEBF.思路分析： 由 切 线 长 定 理 EA EC，FC FBECFC EPPB CPFB 结 论证明：EA，EF ，FB 是O 的切线，EAEC，FCFB .
5、EA，FB 切O 于 A，B，AB 是直径，EAAB，FBAB .EAFB. .EABF EPBP ， CPFB . EPCEBF.ECFC EPPB探究四易错辨析易错点：因定理结论记忆不清致误【典型例题 5】如图，在 Rt ABC 中，ABC90，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，以 OB 为半径作圆交 AC 于 E，F，交 AB 于 D.若 E 是 的中点，且AFAE EF31，FC4，求CBF 的正弦值及 BC 的长错解：连接 OE，DF，OF .E 为 的中点，DOEDBF.ADFOEBF，AOOBAEEF31，OEBF34.设 OBr，则 OA3r，BF r.43ADAO DOA
6、O OB 3rr2r.又由割线定理得，AF ADAE AB， 2.AFAE ABAD 4r2r错因分析：不能正确运用割线定理，因不满足定理对应条件而致误正解：如图，连接 OE，DF，OF，E 为 的中点，FDOE DBF，OEBF，AOOB AEEF31，OE BF34.设 OBr，则 AO3r，BF r，43ADAO DOAO OB 3rr2r.又由割线定理得 AEAFAD AB.AE AF2r4r，即 3EF4EF8r 2，EF r.63又由切割线定理，得BC2CFCE4(4EF )4 .(4 63r)在 Rt ABC 中，AB 2BC 2 AC2，即(4r) 24 (4 EF4) 2 2，(4 63r) (436r 4)解得 r ，746BC .30又CBFBDF，在 Rt DFB 中，sinBDF ，FBBD 23sinCBF .23
