1、互动课堂重难突破一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个:定理 1 是圆的内接四边形对角互补; 定理 2 是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理表述形式稍有差别,但反映的本质相同,都反映了圆内接四边形所具有的特征.利用这两个定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形; 内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.二、圆内接四边形的判定定理1.定理:如果一个四边形的一组对角互补 ,那么这个四边形内接于圆.2.
2、符号语言表述:在四边形 ABCD 中,如果 B+D=180,那么四边形 ABCD 内接于圆.3.证明思路:要证明四边形 ABCD 内接于圆,就是要证明 A、B、C、D 四点在同一个圆上.根据我们的经验,若能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说,总可以确定一个圆.因此我们可以先经过A、B 、C 、D 中的任意三个点,譬如过 A、B、C 三点作一个圆,再证明第四个点 D 也在这个圆上就可以了.但是直接证明点 D 在圆上很困难,所以我们采用反证法证明.也就是假设点 D不在圆上,经过推理论证,得出错误的结论,这就说明点 D 不在圆上是错误的
3、,因此点 D 只能在圆上.图 2-2-1由于点 D 不在圆上时,可能出现点 D 在圆外和点 D 在圆内两种情况,所以应分别加以证明,下面先讨论点 D 在圆内的情况 .假设点 D 在圆内,若作出对角线 BD,延长 BD 和圆交于 D,连结 AD、CD, 则 ABCD为圆内接四边形( 如图 221),则ABC+ADC=180.另一方面,因为ADB、BDC 分别是ADD 和 CDD 的外角,所以有 ADBADB,BDCBDC,于是有ADCADC.因为已知ABC+ADC=180,所以ABC AD C180,这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点 D 不能在圆内.用类似的方法也可以证明点 D 也不能
4、在圆外.因此点 D 在圆上,即四边形 ABCD 内接于圆.三、判定四点共圆的方法(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆 .(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆 .(4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个顶点共圆 (因为四个顶点与斜边中点距离相等).四、刨根问底问题 圆内接四边形判定定理的证明,推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果,体现了反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法,那么与正面证明相比较,反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它
5、有什么优点？探究:反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法. 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在; 平行于/ 不平行于;垂直于/ 不垂直于;等于/ 不等于;大(小) 于/不大(小)于;都是/ 不都是;至少有一个/一个也没有; 至少有 n 个 /至多有(n -1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木
6、.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾,与已知的公理、定义、定理、公式矛盾,与反设矛盾,自相矛盾.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种) 与穷举反证法 (结论的反面不止一种),如在上述定理证明中,假设点 D 不在圆上,则有点 D 在圆外和点 D 在圆内两种情况,必须一一证出这两种情况都不成立后,才能肯定点 D 在圆上.用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.对于一些从正面难以说明的问题,反证法往往有着出奇制胜的作用.活学巧用【例 1】圆内接四边形 ABCD 中,若ABC=2 34,则D=.思路解析:由圆内接四边形性质可知 :A+C=
7、180,根据A C=24,可求出 A 和C,从而求出B 和D.方法一: 四边形 ABCD 内接于圆,A+C =180.又A C =24,A =60,C =120.又A B =23,B =90.D =180-B =90.方法二: ABC=234,又A+ C =B +D,ABCD =2343.B =D.又 B +D =180,D =90.答案:90【例 2】如图 2-2-2,已知 ABCD 为平行四边形,过点 A 和 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F.求证:C、 D、E、F 四点共圆.图 2-2-2思路解析:连结 EF.由B +AEF=180,BC =180,可得 AEF =C.证明:连结
8、 EF.ABCD 为平行四边形,BC =180.A、 B、F、E 内接于圆,B+ AEF =180.AEF =C.C、D、E、F 四点共圆.【例 3】 两圆相交于 A、B,过 A 作两直线分别交两圆于 C、D 和 E、F.若EAB =DAB.求证:CD=EF.图 2-2-3思路解析:要证 CD=EF,只需证明 CBDEBF 即可.从图 2-2-3 可以看出C =E,D =F,因此 ,尚需找一条对应边相等即可 .比如,能否推出 BC=BE 呢？要证 BC=BE,只需CEB=ECB.有无可能呢？可以发现ECB =1,又已知1= 2,所以,只需证2 =CEB即可.这时我们发现 ABEC 是圆内接四边
9、形 ,根据性质定理,它的外角2 与它的内对角CEB 当然相等.至此,思路完全沟通.证明:连结 EC、DF,ABEC 为圆内接四边形,2=CEB.又 1=ECB,且1=2,CEB =ECB.BC =BE.在CBD 与 EBF 中,C =E,D=F,BC =BE,CBDEBF.CD=EF.【例 4】在锐角ABC 中,BD、CE 分别是边 AC、AB 上的高线,DG CE 于 G,EFBD 于 F.求证:FGBC.图 2-2-4思路解析:证 FGBC,只需证DFG =DBC 即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系,探求证明的思路.证明:如图 2-2-4,连结 DE,由于 R
10、tBCE 与 RtBCD 共斜边 BC,所以 B、C、D、E 四点共圆.由同弧上的圆周角,有DBC =DEG.同理,Rt EDF 与 RtDGE 共斜边 DE,所以 D、E、F、G 四点共圆.于是,DEG =DFG.因此,DBC =DFG .于是 FGBC.【例 5】如图 2-2-5,四边形 ABCD 为O 的内接四边形,AB =AD, BCD=120.图 2-2-5(1)当O 的半径为 8 cm 时,求ABD 的内切圆面积;(2)求证:AC =BC + CD .思路解析:(1)要求内切圆面积,则先求内切圆半径和圆心,因此先研究 ABD 的性质.(2)证明线段的和的问题,先在 AC 上截取 CE =BC,然后再证 AE =CD.(1)解:过 O 点作 OHBD,垂足为 H,连结 BO.四边形 ABCD 为 O 内接四边形,BAD +BCD =180.BAD =60.AB=AD,ABD 为正三角形.OH 为 ABD 的内切圆半径.在 RtOBH 中,OB =8 cm, OBH=30,OH =4 cm.ABD 的内切圆面积为 16cm2.(2)证明:在 AC 上截取 CE =BC,连结 BE.BCA =BDA =60,BCE 为等边三角形.BE =BC.又BEA =BCD,BAE =BDC,ABEDBC.AE=CD.AC =AE +CE =CD +BC.
