1、主动成长夯基达标1.如图 2-4-8,AB 是半圆 O 的直径,C 、D 是半圆上的两点,半圆 O 的切线 PC 交 AB 的延长线于点 P,PCB25, 则 ADC 为（ ）图 2-4-8A.105 B.115 C.120 D.125思路解析:连结 AC,构造出圆周角ADC 所对弧的弦切角,即 PCA,而PCA 显然等于PCB加上一个直角,由此即得结果.答案:B2.如图 2-4-9,AB 是O 的直径,EF 切O 于 C,ADEF 于 D,AD =2,AB =6,则 AC 的长为（ ）图 2-4-9A.2 B.3 C.23 D.4思路解析:连结 BC,构造出弦切角所对的圆周角,由已知有ADC
2、 与ACB 相似,所以可得= ,代入数值得关于 AC 的方程.ACDB答案:C3.如图 2-4-10,AB 是O 的弦,CD 是经过O 上的点 M 的切线 .求证:图 2-4-10(1)如果 ABCD,那么 AM =MB;(2)如果 AM =BM,那么 ABCD.思路分析:本题的两个问题互为逆命题 ,利用弦切角在中间起桥梁作用,如第（1）题,由平行得B =DMB,由弦切角得 DMB =A,于是有A = B.证明:(1) CD 切 O 于 M 点,DMB=A,CMA =B.ABCD,CMA =A.A =B.AM =MB.(2)AM =BM,A =B.CD 切O 于 M 点,DMB =A,CMA
3、=B.CMA =A.ABCD.4.如图 2-4-11,四边形 ABED 内接于O,ABDE,AC 切 O 于 A,交 ED 延长线于 C.求证:AD AE =DCBE.图 2-4-11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形 ACD 和ABE 中,所以只要证明ACDABE 即可.证明: 四边形 ABED 内接于圆,ADC =ABE.AC 是 O 的切线,CAD =AED.ABDE,BAE =AED.CAD =BAE.ACDABE.ADAE =DCBE.5.如图 2-4-12,P 为 O 的直径 CB 延长线上的一点,A 为O 上一点,若 = ,AE 交 BC于 D,且C = PAD.21
4、图 2-4-12(1)求证:PA 为O 的切线;(2)若BEA =30,BD 1,求 AP 及 PB 的长.思路分析:对于（1）,A 已经是圆上一点 ,所以可以连结 OA,证明 PA 与 OA 垂直;对于（2）,将E 利用圆周角定理转移到 RtODA 和 RtOAP 中,解直角三角形即可得到线段 AP 及 PB的长.（1）证明:连结 AO, = ,BC 为直径,A EBC,AD =DE, =DE.OA =OB,C =3.1=2C.又C = PAD,1=2.21+4=90,2+4=90.PAOA.PA 为O 的切线.（2）解:在 RtEBD 中,BEA =30,BD1,BE =2,DE = .3
5、在 RtODA 和 RtEBD 中,4=90- 1=90-2C=90-2E =30=E,ODA =BDE,AD =ED,RtODARtEBD.AD =DE = ,OD =BD =1,OA =BE =2.3在 RtOAP 中,ADOP,AD2=ODDP,即 =1DP.2)(DP =3.BP =2.在 RtADP 中,根据勾股定理,得 = = .2DPA23)(6.如图 2-4-13,BA 是O 的直径,AD 是O 的切线,切点为 A,BF、BD 交 AD 于点 F、D ,交O 于 E、C ,连结 CE.求证:BE BF =BCBD.图 2-4-13思路分析:要证 BEBF =BCBD,只需证BE
6、CBDF,DBF 为公共角,只需再找一组角相等,为此,过 B 作O 的切线,构造弦切角.证明:过 B 作O 的切线 BG,则 BGAD,GBC =BDF.又GBC =BEC,BEC =BDF.而CBE 为公共角 ,BECBDF.BEBF =BCBD.7.如图 2-4-14,O 是ABC 的外接圆 ,ACB 的平分线 CE 交 AB 于 D,交O 于 E,过 E 点作O 的切线交 CB 的延长线于 F.求证: AE2 =ADEF.图 2-4-14思路分析:要证 AE2=ADEF,考虑相似三角形,但 AE、 AD、 EF 所在三角形不相似,因此要找线段等量代换.证明:连结 BE, 5FEB522F
7、EOEFAD413AD2FB于切 圆FEBEAD = .BA又3=2 BE =AE BE =AE,则 AE2=ADEF.8.如图 2-4-15,PA、PB 是O 的两条切线,A、B 为切点,C 是 上一点,已知O 的半径为r,PO =2r,设 PAC+PBC =,APB =,则 与 的大小关系为( )A. B.= C. D.不能确定思路解析:连结 AB、AO, PA、 PB 为切线,PAC=ABC,PBC=BAC.=PAC+PBC=PAC+BAC=PAB =PBA = = .)180(2APB)180(2AO =r,PA 切O 于 A,AOPA,且 PO=2r.APO = 30.APB =2A
8、PO=60.=60.= (180-60)=60.=.21答案:B图 2-4-159.如图 2-4-16,已知 AB 为O 的直径,P 为 AB 延长线上一点,PT 切O 于 T,过点 B 的切线交AT 延长线于 D,交 PT 于 C.图 2-4-16(1)试判断DCT 的形状.(2)DCT 有无可能成为正三角形?若无可能,说明为什么; 若有可能,求出这时 PB 与 PA 应满足的条件.思路分析:要判断DCT 的形状,先考虑其内角的关系,注意到 CT、CB 为切线,则连结 BT,可用弦切角定理推论得ATB =BTD =90,从而可判断DCT 的形状.解:(1)连结 BT,CB、 CT 为 O 的
9、切线,CTB =CBT.又 AB 为O 的直径,ATB =DTB =90.DTC =90-CTB,D =90-CBT.DTC =D,即 CD =CT.DCT 为等腰三角形.(2)若DCT 为正三角形,则D =60,由(1)知CBT=90-D =30,而 CB 切O 于 B,A =CBT=30.在 RtATB 中, =sin30= ,BT21且ABT=90-30=60, ABT =CTB +P.而CTB =CBT =30,P =30.P =CTB.PB = TB. = ,A21即当 PBPA=13 时,DCT 为正三角形.走近高考10.如图 2-4-17,AB 是O 的直径,PB 切O 于点 B
10、,PA 交O 于点 C,APB 的平分线分别交BC、AB 于点 D、E,交O 于点 F,A=60,并且线段 AE、BD 的长是一元二次方程 x2-kx +=0 的两个根(k 为常数).32图 2-4-17(1)求证:PABD=PB AE;(2)证明O 的直径长为常数;(3)求 tanFPA 的值.思路分析:(1)由 PBDPAE 即可证得.(2)由韦达定理知 AE +BD =k,只需证 BE =BD,这可由角的相等证得.(3)要求 tanFPA,先将FPA 转化到直角三角形中,而FPB =FPA,FPB 恰好在 RtPBE 中,解此三角形即可.(1)证明: PB 切 O 于点 B,PBD =A
11、.又 PE 平分APB ,APE =BPD.PBDPAE. = .PEDPABD = PBAE.(2)解:由 (1)知 APE =EPB,又BED =A + EPA,BDE =PBC+EPB,BED =BDE.BE =BD.AE、BD 为方程 x2-kx + =0 的两个根,3AE +BD =k =AB.O 的直径为常数 k.(3)解:PB 切O 于点 B,AB 为直径,PBA =90.A =60,PB =PAsin60= .P23由(1)得 PABD =PBAE, .AEBDAE、 BD 的长是方程 x2-kx + =0 的两个根,3AEBD = .3AE =2,BD =3. .2AB在 R
12、tPBA 中, PB =ABtan60=( ) = .3232在 RtPBE 中,tanBPE = = = ,PBE又FPA =BPF, tanFPA = .3211.如图 2-4-18(1),四边形 ABCD 是O 的内接四边形,A 是 的中点,过 A 点的切线与 CB的延长线交于点 E.(1) (2)图 2-4-18(1)求证:ABDA=CDBE;(2)如图 2-4-18(2),若点 E 在 CB 延长线上运动,使切线 EA 变为割线 EFA,其他条件不变,问具备什么条件使原结论成立?思路分析:(1)只需证 ABECDA.(2)如题图(2),要使结论仍然成立,注意到 ABE =ADC 始终
13、成立,因此仍然只需使ABECDA 即可 ,这样只要另一组对应角相等即可,即只需 BAE =ACD 或E =CAD.(1)证明:连结 AC,AE 切 O 于 A,EAB =ACB.AB =AD,ACD =ACB.EAB =ACD.又 四边形 ABCD 内接于 O,ABE =CDA.ABECDA. = .ABDA =CDBE.CDBE(2)解:当 BF =DA 时,EAB =ACD,又ABE =ADC,ABEACD,ABDA =CDBE,此时仍然成立 .12.如图 2-4-19,已知 C 点在O 直径 BE 的延长线上,CA 切 O 于 A 点,BAC 的平分线交AE 于 F 点,BCA 的平分线
14、交 AB 于 D 点.图 2-4-19(1)求ADF 的度数 .(2)若ACB 的度数为 y 度,B 的度数为 x 度,那么 y 与 x 之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.(3)若 AB =AC,求 ACBC.思路分析:（1）中由 AC 为O 切线可得B =EAC,由 CD 平分ACB 可得ACD =DCB,根据三角形外角定理,得到ADF =AFD,建立等腰三角形,再由顶角求底角;（2）中则利用三角形内角和定理得到方程,获得关系;（3）中求线段的比值,利用 ACEABC 可得.解:（1） AC 为 O 的切线,B =EAC.CD 平分ACB,ACD =DCB.B +DCB=EAC+ACD,即 ADF =AFD.BE 为O 的直径,DAE =90.ADF = (180-DAE )=45.21（2）B = EAC,B +BAC+ACB =180,x+90+x+y =180.y =90-2x.0BADC,0x 45.y 与 x 的函数关系式是 y =90-2x,其中 x 的取值范围是 0x45.（3）B = EAC,ACB =ACB,ACEBCA. = .CAEAB =AC,B =ACB,即 x =y.又 y =90-2x,x =90-2x,x =30.在 RtABE 中, = =tanABE =tan30= .CABE3
