1、课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的方差【例 1】 袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从中任取一个球，但不放回原袋中，直到取到白球为止，求取球次数的期望及方差.解析：当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量 是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回去，所以 的可能值为 1,2,3,4,5,易知P（=1）= =0.2,5P(=2)= =0.2,41P(=3)= =0.2,3P(=4)= =0.2,25P(=5)= =0.2.14所求 的概率分布为： 1 2 3 4 5P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2E=10.2+20.2+30.2+40.2+50.2=3,D=(1-3)20.2+(2-
2、3)20.2+(3-3)20.2+(4-3)20.2+(5-3)20.2=2.温馨提示求期望和方差的问题关键是求随机变量的分布列，即求每种情况的概率.因此求事件的概率是基础，另外方差可用定义求，也可以用公式 D=E2-（E） 2 求.二、离散型随机变量的方差的应用【例 2】 A、B 两台测量仪器测量一长度为 120 mm 的工件时分布列如下：A.118 119 120 121 1220.06 0.14 0.60 0.15 0.05B.118 119 120 121 1220.09 0.15 0.52 0.16 0.08解析：设随机变量 1 表示用 A 仪器测量此产品长度的数值，随机变量 2 表
3、示用 B 仪器测量此产品长度的数值，从而有E1=1180.06+1190.14+1200.60+1210.15+1220.05=119.99，D1=(118-119.99)20.06+(119-119.99)20.14+(120-119.99)20.60+(121-119.99)20.15+(122-119.99)20.05=0.729 9，E2=1180.09+1190.15+1200.52+1210.16+1220.08=119.99，D2=(118-119.99)20.09+(119-119.99)20.15+(120-119.99)20.52+(121-119.99)20.16+(12
4、2-119.99)20.08=0.9899.由此可知，E 1=E2，D 1D2.A 仪器测量结果波动较小，表明 A 仪器质量较好.温馨提示本题若仅由 E1=E2，易产生两台仪器性能一样好的错觉.这表明在实际问题中仅靠期望值不能完全反映随机变量的分布特征，还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差）.三、离散型随机变量的方差的最值【例 3】 若随机事件 A 在 1 次试验中发生的概率为 P(0P1),用随机变量 表示 A 在 1 次试验中发生的次数.（1）求方差 D 的最大值;（2）求 的最大值.E解析：随机变量 的所有可能取值为 0,1，并且有 P（=1）=P，P（=0）=1-P，从而 E=0(1
5、-P)+1P=P,D=(0-P)2(1-P)+(1-P)2P=P-P2.(1)D=P-P2=-(P2-P+14)+14=-(P-12)2+14，0P1,当 P= 时， D 取得最大值，最大值为 .141(2) ,),2(1)(22PED0P1,2P + .当 2P= , 时，等号成立 .1因此，当 时， 取得最大值 .ED122类题演练 1已知某离散型随机变量 X 服从的分布列为X 1 0P P q且 0P1，q=1-P ,求 DX.解析：由题目知 X 服从两点分布，所以 E（X）=p,D(X)=(1-p)2p+(0-p)2q=q2p+p2q=pq.这表明在两点分布试验中，离散型随机变量 X
6、围绕期望的平均波动大小为 pq.变式提升 1已知某离散型随机变量 X 服从下面的二项分布：P（X=k）= (k=0,1,2,3,4),求 E（X ）和 D（X）.kkC449.0解析：根据题目知道离散型随机变量 X 服从参数 n=4 和 p=0.1 的二项分布，所以E（X）=np=40.1=0.4,D(X)=npq=40.10.9=0.36.类题演练 2一次数学测验由 25 道选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个选择正确答案得 4 分，不作出选择或选错不得分，满分 100 分.某学生选对任一题的概率为 0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差.解析：
7、设该学生在这次数学测验中选择正确答案的个数为 X，所得的分数（成绩）为 Y，则 Y=4X.由题知 XB （25,0.6）,EX=250.6=15,DX=250.60.4=6,EY=E(4X)=4EX=60,DY=D(4X)=42DX=166=96.答：该学生在这次测验中的期望与方差分别是 60 与 96.变式提升 2一个数学测验由 25 道选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项正确，每题选择正确答案得 4 分，不作出选择或选错的不得分，满分 100 分，某学生选对任一题的概率为 0.8，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差.解析：用 X 表示这个学生在这次数学测验中选择
8、了正确答案的选择题个数，Y 表示成绩，则 XB（25,0.8）,故EX=250.8=20,DX=250.80.2=4,E(Y)=E(4X)=4EX=420=80,D(Y)=D(4X)=16DX=164=64，即此学生在这一次测验中的成绩的期望和方差分别是 80 和 64.类题演练 3设一随机试验的结果只有 A 和 ，且 P（A）=P, 令随机变量 则 X 的不 出 现 ， 出 现 ，A0,1X方差 DX 等于 （ ）A.P B .2P(1-P) C.-P(1-P) D.P(1-P)解析：EX=0（1- p）+1 p=p,DX=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2=p(1-p).答案：D变式提升 3若 X 是离散型随机变量，P（X=X 1）= ,P(X=X2)= ,且 X1X2,又已知 EX= ，D X= ，则33492X1+X2 的值为（ ）A. B. C.3 D.357解析：由 EX= x1+ x2= ,得342x1+x2=4.又 DX=(x1- )2 +(x2- )2 = ,得4918x12+9x22-48x1-24x2+29=0.由且 x1x2,得 x1+x2=3.答案：C
