1、2.2.2 间接证明知识梳理证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不直接证明的方法通常称为_.如反证法，反证法的证明过程概括为：“_”“_” “_”“ _”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.知识导学在数学证明问题时，如果直接证明或正面证明不易证出或不易入手的情况下，可从反面证，用反证法来证，反证法的应用需要逆向思维，依据是互为逆否命题的等价性，即要证原命题成立，只需证逆否命题成立，用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等，反证法主要适用于以下两种情形
2、：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形，学习时注意体会.疑难突破反证法证明过程包括三个步骤剖析：(1)反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真 .(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果.(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立，那么为什么这样证？其理论根据又是什么呢？用反证法证明的依据是互为逆否命题的等价性,即“若 p 则 q”等价于“若 q 则 p”成立，这里得出矛盾可以与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实
3、、定理、公理矛盾，也可以与自身相矛盾，反证法的使用范围是正面不太容易证,而反面好证的情况下， “存在性”“ 唯一性”“至多”“至少”等问题常用反证法 .典题精讲【例 1】 已知 p3+q3=2，求证:p+q2.思路分析：本题的已知为三次式，且很难降次，虽然可分解为(p+q)(p 2-pq+q2)=2，但还出现了我们不需要的二次式 p2-pq+q2，所以正面很难入手，而所证的是一次式 p+q，由一次式很容易升高次数，所以可用反证法.证明：假设 p+q=t2,则 p2-q.p 3(2-q) 3.p 3+q3=2,p 3+q3(2-q) 3+q3=8-12q+6q2-q3+q3=8-12q+6q2=
4、6(q-1)2+22.22 与事实矛盾.绿色通道：在已知次数较高，而所证次数较低,正面解答不易时，可用反证法,注意反证法假设要全部否定结论.变式训练:设 a、b 都是整数，且 a2+b2 能被 3 整除.求证：a 和 b 都能被 3 整除.证明：假设 a、b 中至少有一个不被 3 整除.不妨设 a=3k+m(m=1 或 m=2 且 kZ),当 b=3n(nZ ),则 a2+b2=(3k+m)2+(3n)2=9k2+6km+m2+9n2=3(3k2+2km+3n2)+m2.3(3k 2+2km+3n2)能被 3 整除,m 2 不能被 3 整除,a 2+b2 不能被 3 整除,与已知矛盾.当 b=
5、3n+1(nZ )时,a 2+b2=(3k+m)2+(3n+1)2=9k2+6km+m2+9n2+6n+1=3(3k2+2km+3n2+2n)+m2+1.m 2+1 不能被 3 整除，a 2+b2 不能被 3 整除,与已知矛盾 .当 b=3n+2(nZ )时,a 2+b2=(3k+m)2+(3n+2)2=9k2+6km+m2+9n2+12n+4=3(3k2+2km+3n2+4n)+m2+4.m 2+4 不能被 3 整除，a 2+b2 不能被 3 整除,与已知矛盾 .综上,可知 a 和 b 都能被 3 整除.【例 2】 证明 是无理数.思路分析：无理数的概念是不是有理数的数,所以正面不易说明.若
6、假设 是有理数得出矛2盾就能说明 不是有理数，而是无理数.证明：假定 是有理数，则可设 ，其中 p、q 为互质的正整数.222= ,即 q2=2p2.pq 2 是偶数.q 也是偶数.设 q=2m(m 为整数),则 4m2=2p2.p 2=2m2.p 2 是偶数 .p 也是偶数.p、q 都是偶数，有公因数 2,与 p、q 互为质数矛盾.假设 是有理数不成立. 是无理数.2绿色通道：在证明“不是” 或“没有”等否定性命题时常用反证法.变式训练:求证：正弦函数没有比 2 小的正周期.证明：假设正弦函数 y=sinx 有比 2 小的正周期 T，(0T2),则 sin(x+T)=sinx,对于任意 x
7、都成立,x=0 时，sinT=0.T=. sin(x+)=sinx.但当 x= 时,sin( +)=-1,sin =1,sin(x+)sinx,2与 sin(x+)=sinx 矛盾.正弦函数没有比 2 小的正周期.【例 3】 已知 a、b、c 、dR ,且 a+b=c+d=1,ac+bd1.求证：a、b、c、d 中至少有一个是负数.思路分析：本题要证 a、b、c、d 中至少有一个是负数,具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能.所以正面证明很复杂,对于“至多”“至少”性问题可用反证法.证明：假设 a、b、c 、d 都不是负数,即 a0,b0,c0,d0.a
8、+b=c+d=1,b=1-a0,d=1-c0.ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=2ac-(a+c)+1=(ac-a)+(ac-c)+1=a(c-1)+c(a-1)+1.a(c-1)0,c(a-1)0,a(c-1)+c(a-1)+11,即 ac+bd1.与 ac+bd1 相矛盾 .假设不成立.a、b、c、d 中至少有一个是负数.绿色通道：对于“至多”“至少”类命题的证明，常用反证法.变式训练:已知 a、b、c(0,1),求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 .41证法一：假设三式同时大于 ,41即 b-ab ,c-bc ,a-ac .41相乘得 a(1-a)b(1-
9、b)c(1-c) .6又a、b、c(0,1),a(1-a) ,412)(ab(1-b) ,)(bc(1-c) ,412)(ca(1-a)b(1-b)c(1-c) .6矛盾，假设不成立，即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 .41证法二：假设三式同时大于 .410a1,1-a0, .214)(2)( baa同理, .1,12)(cb三式相加得 矛盾,假设不成立.3(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 .4问题探究问题：1， ，2 能否为同一等差数列中的三项？3导思：有些问题在不定性或结论不确定时，我们可进行探索性研究，可从正面研究.若正面不易研究，再从反面研究，或假设成立会导致什么结果，或举反例否定，从而确定答案，下结论.探究：目前等差数列是谁不知道，无法正面验证，只能从反面假设，是同一等差数列中的三项，得出矛盾说明假设错误，原结论正确；得不出矛盾，则说明假设正确.假设 1， ，2 能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为 d，则31= -md，2= +nd，m、n 为两个正整数，消去 d 得n+2m= (n+m).3n+2m 为有理数 , (n+m)为无理数 ,n+2m (n+m).假设不成立，即 1、 、2 不能为同一等差数列中的三项.3
