1、 今天我们研究方程 Ax2+Cy2 F 对应的曲线是否表示双曲线。根据方程中参数的取值情况讨论曲线的形状,利用双曲线的标准方程,进一步判断双曲线的焦点位置。先看例题:例:在方程 mx2 my2 n 中,若 mn0,则方程表示的曲线是( )A焦点在 x 轴上的椭圆 B焦点在 x 轴上的双曲线C焦点在 y 轴上的椭圆 D焦点在 y 轴上的双曲线解:将方程化为 1.y2 nmx2 nm其中 ,可知方程为双曲线标准方程,所以,0选 D.整理:中心在原点,焦点分别在 x 轴上, y 轴上的双曲线方程,可写为一般形式:21(0)mxny对于方程 Ax2+Cy2 F,若 AC0, 方程对应的曲线表示双曲线。
2、0F再看一个例题,加深印象例:若方程 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( )x210 k y25 kA(5,10) B(,5)C(10,) D(,5)(10,)解:由题意得(10 k)(5 k)0,解得 5k10.所以,选 A.总结:1.方程 Ax2+Cy2 F,若 AC0, 方程对应的曲线表示双曲线。0F2.将已知的方程 Ax2+Cy2 F 整理后变形与双曲线的标准方程对照,进一步判断双曲线的焦点位置。练习: 1212.若 方 程 表 示 双 曲 线 , 则 的 取 值 范 围 是 ( )xmymAB. .21或CDR且202.abaxbyc时 , 方 程 表 示 双 曲 线 的 是 (
3、 )A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件322. sinicos设 是 第 二 象 限 角 , 方 程 表 示 的 曲 线 是 ( )xyA. 焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 y 轴上的椭圆C. 焦点在 y 轴上的双曲线 D. 焦点在 x 轴上的双曲线4. “ab0”是“方程 ax2+by2=1 表示双曲线”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知方程 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值2213xymn范围是( )A.(1,3)B. (1,3)C.(0,3)D. (0,)答案1. 解:把所给方程与双曲线的标准方程对照易知:2+ m 与 m+1 应同号即可。201201或或m12或2 02.若 表 示 双 曲 线 , 则 一 定 有 ;axbycab若 当 时 , 表 示 双 曲 线当 时 , 表 示 直 线0选 A30. sincos是 第 二 象 限 角 , ,sinco0原 方 程 化 为 : xy221sincosi易知: x2的系数为负, y2的系数为正方程表示焦点在 y 轴上的双曲线