1、课后导练基础达标某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下:次数(x) 32 33 35 37 39 44 46成绩(y) 25 34 37 39 42 48 51试求 y 与 x 之间的回归直线方程.解析: =38, =39.43, =10 756, =10 280, =11 340.71iiyx712ix712iyb= =1.6,a= -b =-21.37.712iiixyx回归直线方程为 y=1.6x-21.37.2.考察硫酸铜在水中的溶解度 y 与温度 x 的关系时,做了 9 组试验,其数据如下:温度 x/ 0 10 20 30 40 50 60 70 80溶解度 y/g 14.0
2、17.5 21.2 26.1 29.2 33.3 40.0 48.0 54.8求:(1)回归直线方程;(2) 相关系数 r.解析:(1) 利用计算器分别求出 , , , , ,利用回归直线公式可求出xy712i9iy1iixb=0.499 2,a=11.60 可知,回归直线方程为 y=0.499 2x+11.60.(2)将上述数据代入相关系数公式,可得 r=0.987 4.3.研究某灌溉渠道水的流速 y 与水深 x 之间的关系,测得一组数据如下:水深 x/m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10流速 y/(ms-1) 1.70 1.79 1.88 1.
3、95 2.03 2.10 2.16 2.21(1)求 y 对 x 的回归直线方程;(2)预测水深为 1.95 m 时水的流速是多少?解析:可采用列表的方法计算 a与回归系数 b.序号 x y x2 xy1 1.40 1.70 1.96 2.3802 1.50 1.79 2.25 2.6853 1.60 1.88 2.56 2.6854 1.70 1.95 2.89 3.315 1.80 2.03 3.24 3.6546 1.90 2.10 3.61 3.9907 2.00 2.16 4.00 4.3208 2.10 2.21 4.41 4.641 14.00 15.82 24.92 27.99
4、3于是, = 14.00=1.75, = 15.82=1.977 5.x81y81b= = 0.733.694.057.92.453721a=1.977 5- 1.750.694.1y 对 x 的回归直线方程为 y=a+bx=0.694+0.733x.回归系数 b=0.733 的意思是,在此灌溉渠道中,水深每增加 0.1 m,水的流速平均增加 0.073 m/s(本例数据是以 0.1 m 为水深间隔测得的 ),a=0.694 可以解释为水的流速中不受水深影响的部分.(2)由(1)中求出的回归直线方程,把 x=1.95 代入,易得 y=0.694+0.7331.952.12(m/s).计算结果表
5、明,当水深为 1.95 m 时可以预测水的流速约为 2.12 m/s.4.从某地成年男子中随机抽取 n 人,测得平均身高 =172 cm,标准差 sx=7.6 cm,平均体重x=72 kg,标准差 sy=15.2 kg,相关系数 r= =0.5.求由身高估计平均体重的回归方程y yxly=0+1x,以及由体重估计平均身高的回归方程 x=a+by.解析: sx= ,sy= ,nll =0.57.615.2=57.76.llyxxy1= =1.26.75nlxy于是可得 b= 1.215.2122 )15.8(0.947435iiixy0= - 1=72-1721=-100,yx由身高估计平均体重
6、的回归方程为 y=x-100.由 x、y 位置的对称性,得 b= =0.25.2.1576nlyxa= - b=172-720.25=154.由体重估计平均身高的回归方程为 x=0.25y+154.5.一个工厂在某年里每月产品的总成本 y(万元) 与该月产量 x(万件)之间有如下一组数据:x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50(1)画出散点图；(2)求月总成本 y 与月产量 x 之间的回归直
7、线方程.解析:(1) 画出的散点图如图所示.(2)通过计算器可得 b1.215,a= -b =2.847 5-1.215 0.974.yx125.8因此所求的回归直线方程是 y=1.215x+0.974.6.已知 10 只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表:血球体积x(mm)45 42 46 48 42 35 58 40 39 50红血球数 y(百万)6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72若已知二者相关,求出回归直线方程.思路分析:求回归直线方程,就是由公式计算 b与 a的值.解析:由题意,得 x=44.50,y=7.37,设回归直
8、线方程为同 y=bx+a则 b= 0.175,a=-0.43.故所求的回归直线方程为 y=0.175x-0.43.niiixy127.调查者通过询问男、女大学生在购买食品时是否看营养说明得到的数据如下表所示:看营养说明 不看营养说明 总计男大学生 23 32 55女大学生 9 25 34总计 32 57 89利用列联表的独立性检验估计看营养说明是否与性别有关系?思路分析:根据列联表中的数据代入公式求得 2 的值,进行比较判断得出相应结论 .解:由公式得 2= 2.149r0.05,所以可以认为 x 与 y 之间具有线性相关关系.(3)b= 0.397;27.10793652a=165.7-0.
9、39777.7=134.8.综合运用9.已知 10 只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表:x:血球体积(mm) y:红血球数 (百万)45 6.5342 6.3046 9.5248 7.5042 6.9939 6.5550 8.7235 5.9058 9.4940 6.20(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并画出图形. 解析:(1) 见下图 :(2) = (45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.5,x10= (6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37.y设回归直线的方程为 y=bx+a
10、,则b= =0.175,a= -b =-0.43.niiixy12yx所以所求的回归直线为 y=0.175x-0.43.10.炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量 x 与冶炼时间 y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据 ,如下表所示:x(0.01%) 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121y(min) 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125(1)y 与 x 是否具有线性相关关系?(2)如果 y 与 x 具有线性
11、相关关系,求回归直线方程.(3)预测当钢水含碳量为 160 个 0.01%时,应冶炼多少分钟？思路分析:(1)判定两个变量是否具有线性相关关系,可通过计算相关系数与临界值关系 ;(2)设回归直线方程,依公式代入相关量计算可得;(3)把 x=160 代入回归直线方程求解可得. 解:(1)根据题意列表并计算如下:i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10xi 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121yi 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125xiyi 10400 36000 39900 32745 22785 1809
12、0 25500 39155 47940 15125=159.8, =172,=265 448, =312 350, i=287 640102ix102iy10iiyx于是 r= 0.990 6,101022)(i iiiyx查表得显著性水平 0.05 与 n-2 的相关系数临界值 r0.05=0.632,rr0.05.y 与 x 具有线性相关关系.(2)设所求的回归直线方程为 y=bx+a,b= 1.267,a-30.51,102iiix即所求的回归直线方程为 y=1.267x-30.51.(3)当 x=160 时,y=1.267160-30.51172(m in),即大约冶炼 172 min
13、.11.研究某特殊药物 A 有无副作用(比如服用后恶心), 给 50 个患者服用此药,给另外 50 个患者服用安慰剂,记录每类样本中出现恶心的数目如下表:有恶心 无恶心 合计给药 A 15 35 50给安慰剂 4 46 50合计 19 81 100试问此药物有无恶心的副作用?思路分析:根据列联表中的数据代入公式求得 2 的值,与临界值进行比较判断得出相应结论 . 解:由题意,问题可以归纳为独立检验假设 H1:服该药物( A)与恶心(B) 独立.为了检验假设,计算统计量 2= 7.866.635.81950)346(2故拒绝 H1,即不能认为药物无恶心副作用 ,也可以说,我们有 99%的把握说,
14、该药物与副作用(恶心)有关.12.为了了解某地母亲身高 x 与女儿身高 y 的相关关系,随机测得 10 对母女的身高,如下表所示:母亲身高 x/cm159 160 160 163 159 154 159 158 159 157女儿身高 y/cm158 159 160 161 161 155 162 157 162 156试对 x 与 y 进行一元线性回归分析,并预测当母亲身高为 161 cm 时女儿的身高为多少?解析:先对 x 与 y 作相关性检验.(1)作统计假设: x 与 y 不具有线性相关关系.(2)由小概率 0.05 与 n-2=8 在附表中查得 r0.05=0.632.(3) = (
15、159+160+157)=158.8,10= (158+159+156)=159.1,y=(1592+1602+1572)-10158.82=47.6,102ix-10 =(159158+160159+157156)-10158.8159.1=37.2,10iiy-10 2=(1582+1592+1562)-10159.12=56.9,10i所以 r= 0.71.9.56473(4)|r|=0.710.632,即|r|r 0.05.从而有 95%的把握认为 x 与 y 之间具有线性相关关系,去求回归直线方程是有意义的 .回归系数 b= 0.7820.78,6.4723a=159.1-0.782158.534.92.所以 y 对 x 的回归直线方程是 y=34.92+0.78x .回归系数 0.78 反映出当母亲身高每增加 1 cm 时女儿身高平均增加 0.78 cm,a=34.92 可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分.当 x=161 时,y=34.92+0.78161=160.5.这就是说当母亲身高为 161 cm 时女儿的身高大致也接近 161 cm.
