2017学年高中数学苏教版选修2-2知识导航 1.2.1常见函数的导数 word版含解析.doc

1、1.2 导数的运算1.2.1 常见函数的导数知识梳理(1)C=_(C 为常数); (2)(xn)=_;(3)(sinx)=_; (4)(cosx)=_;(5)(ex)=_; (6)(ax)=_;(7)(lnx)=_; (8)(logax)=_;(9)(x)=_.知识导学由导数定义给出了求导数的最基本方法,因为导数是由极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限运算.这显然比较麻烦,甚至困难,但是找到一些常用函数的导数将使求导工作大大简便,因此要熟记常见函数的导数.疑难突破通过几个实例归纳出 y=xn 的导数的形式;熟记基本初等函数的求导公式.剖析:通过对函数 y=kx+b,y=x2,y=x3,y=

2、 及 y= 几种函数导数的推导过程,总结出 y=xn 的x1导数的形式，这是培养学生善于思考及善于归纳的好习惯.正确记忆基本初等函数的求导公式是本节课的重点和难点,只有熟练记忆才能用起来方便.常用函数的导数公式是求导的基础,高考中经常涉及,但单独考查利用导数公式求导数的题目并不多,常与其他知识联系起来考查.典题精讲【例 1】 (1)求曲线 y=sinx 在点 P( )处切线的斜率 k;23,(2)物体运动方程为 s= ,求当 t=5 时瞬时物体运动的速度 v.41t思路分析：本题是一道导数应用题,必须从导数的公式入手.解:(1)(sinx)=cosx,当 x= 时,k= .321cos(2)s

3、=( )=t3,当 t=5 时,v=125.41t变式训练：已知点 P(-1,1),点 Q(2,4)是曲线 y=x2 上的两点,求与直线 PQ 平行的曲线 y=x2 的切线方程.思路分析：本题是已知斜率求点的坐标的问题.可先设出点的坐标，再代入方程求得切线方程.解:y=(x 2)=2x,设切点坐标为 M(x0,y0)，则当 x=x0 时，切线斜率 k=2x0,因为 PQ 的斜率为 =1.又切线平行于直线 PQ,所以124k=2x0=1，即 x0= .21所以切点 M( ).4,所求切线方程为 ,即 4x-4y-1=0.xy【例 2】 求曲线 y=2x2-1 的斜率为 4 的切线方程.思路分析：

4、导数反映了函数在某一点处的变化率,它的几何意义就是相应曲线在该点处的切线的斜率.由于切线的斜率已知,只要确定切点的坐标,先利用导数求出切点的横坐标,再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标,从而可求出切线方程.解:设切点为 P(x0,y0)，则 y=(2x2-1)=4x.当 x=x0 时,4=4x 0,x 0=1;当 x0=1 时,y 0=1,切点 P 的坐标为 (1,1).故所求切线方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y-3=0.绿色通道：联系实际，深刻理解导数的意义,在不同的区域代表的具体意义不一样,但本质上都是指事物在某过程中的变化率的极值.变式训练：求过曲线 y=cosx 上点 P( )

5、,且与过这点的切线垂直的直线方程.21,3思路分析：首先要求切线的斜率.解:因为 y=cosx,所以 y=(cosx)=-sinx.曲线在点 P( )处的切线斜率是 ,21,323sin所以过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 .所以所求直线方程为 ,)3(21xy即 =0.32x【例 3】 已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点.O 是坐标原点,试在抛物线的 上求一点 P,使ABP 面积最大.思路分析：依题意|AB|为定值 ,只要 P 点到 AB 的距离最大,S ABP 就最大,问题转化为在抛物线的 上求一点 P 到直线 AB 的距离最大.由导数的几何意义,知

6、 P 为抛物线上与 AB 平行的切线的切点,求出 P 点坐标即可,也可用解析几何知识求解.解法一:如图 1-2-1 所示，|AB| 是定值,PAB 的面积最大.只需 P 到 AB 的距离最大,即只需点 P 是抛物线上平行于 AB 的切线的切点.设 P(x,y)，由图知点 P 在 x 轴下方的图象上,所以.所以 y= .xy2x1图 1-2-1因为 kAB= ,所以 ,x=4.2121x又 y2=4x(y0)时,y=-4，所以 P(4,-4).解法二:设 P( ).因为|AB| 为定值,要使PAB 的面积最大,只需 P 到直线 AB:x+2y-4=002,4y的距离最大.设距离为 d,则d= ,

7、|8)4(1|5|4241| 200 yyy0( ).,当 y0=-4 时,d 最大.此时PAB 的面积最大 ,所以 P(4,-4).绿色通道：解法一是利用导数的几何意义解题,注意数形结合思想的运用;解法二是用函数的方法求 P 点的坐标,注意配方法的运用.变式训练：已知抛物线 c1：y=x 2+2x 和 c2：y=-x 2+a.如果直线 l 同时是 c1 和 c2 的切线,称 l是 c1 和 c2 的公切线.公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(1)a 取什么值时,c 1 和 c2 有且仅有一条公切线?写出此公切线方程.(2)若 c1 和 c2 有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平

8、分.(1)解:函数 y=x2+2x 的导数 y=2x+2,曲线 c1 在点 P(x1,x12+2x1)的切线方程是 y-(x12+2x1)= (2x1+2) (x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12. 函数 y=-x2+a 的导数为 y=-2x,曲线 c2 在点 Q(x2,-x22+a)处的切线方程是 y-(-x22+a)=-2x2(x-x2),即 y=-2x2x+x22+a. 如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线，则式和式都是 l 的方程，所以 消.,12ax去 x2 得方程 2x12+2x1+1+a=0.若判别式 =4-42(1+a)=0,即 a= ,解得 x1= .此时点 P

9、与 Q 重合，即当 a= 时，c 12和 c2 有且仅有一条公切线，由得公切线方程为 .41y(2)证明：由(1)知，当 a 时，c 1 和 c2 有两条公切线.设一条公切线上的切点为 P(x1,y1), Q(x2,y2),其中 P 在 c1 上，Q 在 c2 上，则有 x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2+a= -1+a,线段 PQ 的中点坐标为( ).,a同理，另一条公切线段 PQ的中点坐标也是 ( ),所以公切线段 PQ 和 PQ互相平,分.问题探究问题：函数 y=f(x)在 x0 处的导数是如何定义的 ?若 x0(a,b),y=

10、f(x)在 x0 处可导,则 y=f(x)在(a,b)内处处可导吗?导思：函数 y=f(x)在 x0 处可导即当 x0(a,b)时,y=f(x)在 x0 处可导.与 y=f(x)在(a,b)内处处可导是两码事.函数 y=f(x)在(a,b)内处处可导,必须满足对任意的 x0(a,b)时,y=f(x)在 x0 处可导.探究：自变量 x 在 x0 处有增量 x,那么相应地函数 y 也有增量 y=f(x0+x)-f(x0).若 x 趋近于 0 时, 存在,则这个值就是 y=f(x)在 x=x0 处的导数,x 0(a,b)时,y=f(x)在 x0 处可导,只能y说明在(a,b)内某一点 x0 处可导 ,而不能说明在(a,b) 内处处可导 .