1、1.4 导数在实际生活中的应用5 分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为( )A. B. C. D.23V32V34V3V答案：C解析:设底面边长为 x，则表面积 S= x2+ V(x0),S= (x3-4V),令 S=0,2x得唯一极值点 x= .34V2.在半径为 r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底长为( )A. B. r C. r D.r2233答案：D解析:设梯形的上底长为 2x,高为 h，面积为 S.h= ,S= =(r+x) .2xrxr22xr令 S= =
2、= .22)(xr2xr2)(r令 S=0，得 x= ,h= r,当 x(0, )时,S0;3当 0)，令 S=8-2x=0，得 x=4.此时 S 最大 =42=16 m2.答案:1610 分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A.6 B.8 C.10 D.12答案：B解析:设截去的小正方形的边长为 x cm,铁盒的容积为 V cm3,由题意,得 V=x(48-2x)2(00),x512则 L=2- .251x
3、令 L=0,得 x=16.x0,x=16.当 x=16 时,L 极小值 =Lmin=64,堆料场的长为 =32 米.1652答案:32 米,16 米4.如图所示,水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为 S,水面的高为 h,当水渠侧边的倾斜角 为多大时,才能使横断面被水浸湿的周长为最小?(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于 a,当水渠侧边倾斜角 多大时,水流的横断面积为最大?解：(1)依题意,侧边 BC=h(sin)-1,设下底 AB=x,则上底 CD=x+2hcot.又 S= (2x+2hcot)h=(x+hcot)h,21下底 x= -hcot.hS横断面被水浸湿周长
4、l= +( -hcot)= (00,解之得 a2.答案:(-,-1)(2,+)4.函数 y=sin2x-x,x , 的最大值是_,最小值是_.2答案： -25.将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形，问如何截能使正方形与圆面积之和最小,并求出最小面积.解:设弯成圆的一段长为 x，另一段长为 100-x,设正方形与圆的面积之和为 S，则S=（ ） 2+( )2(0x100),所以 S= (100-x).x410812x令 S=0,得 x= .由于在（0，100）内函数只有一个导数为 0 的点，故当 x= 时 S 最小,此时 S= .41425所以截成圆的一段铁丝长为
5、 时,可使正方形与圆的面积之和最小，最小值为 .1 42506.如图,一艘渔船停泊在距岸 9 km 的 A 处,今需派人送信给距渔船 334 km 处的海岸渔站 C,若送信人步行速度为每小时 5 km,船速为每小时 4 km,问在何处上岸 ,可以使抵站的时间最省?参考导数公式 = f(x)(xf)(21xf解:设上岸点为 D,BD=x,BC= =15,AD= ,29)34(281x所用时间 t(x)= ,51482xt(x)= =0.12x解得 x=12.15-x=15-12=3 km.上岸点在距渔站 3 km 处.7.如图,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线
6、折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时,其容积最大?解:设被切去的全等四边形的一边长为 x,如题图,则正六棱柱的底面边长为 1-2x,高为 x,3正六棱柱的体积 V=6 (1-2x)2 x(00,V 是增函数 ;61当 x( , )时,V0,V 是减函数 ,2当 x= 时,V 有最大值,此时正六棱柱的底面边长为 .328.某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元.(1)当每辆车的月租定为 3 600 元时,能租出多少辆车?(2)每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大 ?最大月收益为多少?解:(1)当每辆车的月租金为 3 600 元时,未出租的车辆数为 =12,5036所以这时租出了 88 辆车.(2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益 f(x)=(100 )(x-150) x50= 162x-21 000.503x2f(x)= +162,由 f(x)=0,得 x=4 050.当 x=4 050 时,f(x) 最大,最大值为 f(4 050)=307 050.
