1、课堂导学三点剖析一、利用标准正态表求正态总体在某一区间内的概率【例 1】 设测量一条道路长度的误差 x(单位:m) 服从正态分布 N(-5,202),求:(1)误差的绝对值不超过 30 m 的概率;(2)测得的长度小于道路真实长度的概率;(3)测得的长度比道路真实长度大 35 m 的概率.(查表,可得 (1.75)=0.959 94,(1.25)=0.894 4,(2)=0.977 2,(0.25)=0.598 7)解析：(1)P(|x|30)= P(-30x30)= - =(1.75)-(-1.25)=(1.75)205(3)205(3+(1.25)-1=0.854 34.(2)由误差的定义
2、: 测量值=真实值+误差,可见,题意要求的概率为 P(x35)=1-P(x35)=1- =1-(2)=0.022 8.)205(3温馨提示求正态分布在某一区间的概率应先转化为标准正态分布.二、利用正态曲线的性质解题【例 2】 设任一正态总体 N(,2)中取值小于 x 的概率为 F(x),标准正态总体 N(0,1)中,取值小于 x0 的概率为 (x0).(1)证明 F(x)可化为 (x0)计算 ;(2)利用正态曲线的性质说明:当 x 取何值时,正态总体 N(,2)相应的函数 f(x)=(xR)有最大值,其最大值是多少？2)(1e(1)证明：由正态总体 N(,)的概率密度函数可知 F(x)= 即
3、.)x0(2)解析：由正态曲线的单调性和对称性可知,正态总体 N(,2)的概率密度函数 f(x)在 x= 时,取到最大值 .21温馨提示 注意正态曲线中 , 的几何意义 .三、小概率事件【例 3】 某厂生产的圆柱形零件的外直径 服从正态分布 N(4,0.25),如果一批产品的合格率达到 99.7%以上就认为这批产品是合格的 .质检人员从该厂生产的 1 000 件零件中随机抽取一件,测得它的外直径为 5.7 cm,试问该厂生产的这批零件是否合格？思路分析:要说明这批零件是否合格 ,就是要说明从这批零件中随机地取出一件,其尺寸是否落在规定的范围内.由正态分布的性质知,总体中个体取值的概率为 99.
4、7%所对应的区间为(-3,+3),故只需判断 5.7 是否属于该区间即可.解： N(4,0.25),由正态分布的性质知, 的取值落在区间(-3,+3)之内的概率为 99.7%.由于 =4,=0.5,-3=4-30.5=2.5,+3=4+30.5=5.5,即合格品的产品尺寸的取值范围是(2.5,5.5).5.7(2.5,5.5),这说明在一次试验中小概率事件发生了, 可以认为这批零件是不合格的.温馨提示 发生概率一般不超过 5%的事件 ,称为小概率事件,它在一次试验中几乎不可能发生.各个击破类题演练 1某学校学生的数学竞赛成绩 服从正态分布 N(42,36),如某个学生得 48 分,求成绩排在这名学生以后的学生占学生总数的百分比.解析:由 N(42,36), 则 = N (0,1).642因此,P(540)=P(X540)+P(X0.99,即有 =2.33.于是 h=184.31 cm,故汽车车门的高度大于7168h184.31 cm 时,男子与车门碰头的机会在 0.01 以下.
