1、2.4 二项分布学习目标 重点、难点1理解独立重复试验的模型及二项分布；2能利用二项分布解决一些简单的实际问题.重点：独立重复试验及二项分布难点：利用二项分布解决实际问题.独立重复试验及二项分布1一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即 A 与 ，每次试验中 P(A)p0，我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验，A也称为伯努利试验2若随机变量 X 的分布列为 P(Xk)C pkqnk ，其中kn0p1，pq1，k0,1,2，n，则称 X 服从参数 n，p 的二项分布，记作XB (n，p) 预习交流下列随机变量服从二项分布吗？如果服从，其参数各为
2、多少？(1)100 件产品有 3 件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次，取得不合格品的件数；(2)一个箱子内有三个红球，两个白球，从中依次取 2 个球，取得白球的个数提示：(1)服从二项分布，其参数 n3，p ；3100(2)不服从二项分布，因为每次取得白球的概率不相同在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点一、独立重复试验概率的求法某气象站天气预报的准确率为 80%，计算，(1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率；(2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率；(3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率思路分析：由
3、于 5 次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确) ，符合独立重复试验模型解：(1)记预报一次准确为事件 A，则 P(A)0.8.5 次预报相当于 5 次独立重复试验2 次准确的概率为：PC 0.820.230.051 20.05.25(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的反面为“5 次预报都不准确或只有 1 次准确” 其概率为 P(X0)P(X1) C 0.25C 0.810.240.006 720.01.05 15所以所求概率为 1P10.010.99.(3)说明 1,2,4,5 次恰有 1 次准确所以 PC 0.80.230.80.020 480.02.14所以恰有 2 次准
4、确，且其中第 3 次预报准确的概率约为 0.02.射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞碟得 2 分，击中一个飞碟得 1 分，不击中飞碟得 0 分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为 ，第二枪命中率为 ，该运动员进行 2 轮比赛23 13(1)求该运动员得 4 分的概率为多少？(2)若该运动员所得分数为 X，求 X 的分布列？解：(1)记“运动员得 4 分”为事件 A，则P(A) .23 13 23 13 481(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4.P(X0)P(X 4) ；481P(X1)P(X 3) C 3C 3 ；12(23)(13) 12(
5、13)(23) 2081P(X2) 4 44 2 2 ；(13) (23) (23)(13) 3381X 的分布列如表：X 0 1 2 3 4P 481 2081 3381 2081 481(1)独立重复试验必须满足两个特征：每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立并且独立重复试验的每次试验只有两个可能的结果，发生与不发生、成功与失败等(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题.二、二项分布的实际应用某大厦的一部专用电梯从底层出发后只能在第 18,19,20 层可以停靠，若该电梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯
6、的概率均为 ，用 X 表示这 5 位乘客13在第 20 层下电梯的人数，求随机变量 X 的分布列思路分析：每位乘客在每一层下电梯的概率都是 ，服从二项分布，利用二项分布的概13率公式求解解：考查每一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验，5 位乘客即 5 次独立重复试验即 XB ，也就是 P(X k)C k 5k ，k0,1,2,3,4,5.从而 X 的分布列如表：(5，13) k5(13)(23)X 0 1 2 3 4 5P 32243 80243 80243 40243 10243 1243某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇
7、到红灯时停留的时间都是 2 min.13(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min 的概率解：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件 A.因为事件 A等于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” 所以事件 A 发生的概率为 P(A) .(1 13) (1 13) 13 427(2)记“这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是 4 min”为事件 B， “这名学生在上学路上遇到 k 次红灯”为事件 Bk(k0,1,2,3,4) 由题意得 P(B0) 4 ，P
8、( B1)C 1 3 ，P(B 2)C 2 2 .(23) 1681 14 (13) (23) 3281 24 (13) (23) 827由于事件 B 等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到 2 次红灯” ，所以事件 B 发生的概率为 P(B)P(B 0)P(B 1)P(B 2) .89对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为某一事件的某一类型，最后选用相应的恰当的公式去求解1将一枚硬币连掷 5 次，如果出现 k 次正面的概率等于出现 k1 次正面的概率，则k_.答案：2解析：依题意有 C k 5k C k1 5(k 1) ，所以 C C ，k 2.k5 (12)(12
9、) k 15 (12) (12) k5 k 152把 10 个骰子全部投出，设出现 6 点的骰子的个数为 X，则 P(X2)_.(用式子表示)答案： 10C 1 9C 2 8(56) 10(16)(56) 210(16)(56)解析：由题意知 XB ，(10，16)P(X 2)P(X0) P(X1) P(X2) 10C 1 9C 2 8.(56) 10(16)(56) 210(16)(56)3若随机变量 XB ，则 P(Xk)最大时，k_.(5，13)答案：1 或 2解析：依题意 P(Xk)C k 5k (k0,1,2,3,4,5)k5 (13)(23)可以求得 P(X0) ，P(X1) ，P
10、(X2) ，P(X 3) ，P(X4) 32243 80243 80243 40243，P (X5) ，故当 k 1 或 2 时，P( Xk )最大10243 12434某处有供水龙头 5 个，调查表明每个水龙头被打开的概率为 ，随机变量 X 表示110同时被打开的水龙头的个数，则 P(X3) _.答案：0.008 1解析：由题意 XB ，(5，110)P(X 3)C 3 20.008 1.35(110)(910)5在甲、乙两个队的乒乓球比赛中，比赛的规则是“五局三胜制” ，现有甲、乙两队获胜的概率分别为 和 .23 13(1)若前 2 局乙队以 20 领先，求最后甲、乙两队各自获胜的概率；(2)求乙队以 32 获胜的概率解：(1)由于前 2 局乙队以 20 领先，即乙队已经赢了 2 局，所以甲队要想获胜，须在余下的 3 局中全部获胜，才能最终获胜，所以甲队获胜的概率是 P1 3 ；(23) 827从而乙队获胜的概率为 P21P 11 .827 1927(2)依题意，乙队以 32 获胜时，第五局必为乙队获胜，且在前 4 局中乙队有 2 局获胜(甲队也有 2 局获胜)，故乙队以 32 获胜的概率为 P C 2 2 .24 (23) (13) 13 881用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记知识精华 技能要领
