1、1.2.2 函数的和、差、积、商的导数知识梳理导数的四则运算1.若 u(x)、v(x)的导数存在,且 v0，则有(1)(u+v)=_;(2)(u-v)=_;(3)(uv)=_;(4)( )=_.vu2.语言叙述为:两个可导函数的和或差的导数等于 _.知识导学可导函数的四则运算是进一步学习导数的基础,因此要透彻理解函数求导法则的结构内涵,注意挖掘知识的内在联系和规律,善于发现和挖掘隐含条件,将问题等价转化,将未知转化为已知,注重类比联想,尝试探究.疑难突破基本初等函数的导数公式和导数的运算法则在解决具体的数学问题时有许多技巧,要能利用其熟练地求常见函数的导数;通过利用导数方法解决实际问题的过程,
2、体会导数在实际现实生活中的应用价值,提高数学应用能力.剖析:应用函数的和、差、积、商的导数 ,求复杂函数的导数; 难点是商求导法则的理解与应用,疑点是商的求导法则与积的求导法则的相近，而造成它们之间容易混淆.通过一定的练习,加深对商的求导法则的理解,并能正确运用函数式的恒等变形,尽可能避免使用商的求导法则,减少运算量,学习中应适时进行归纳总结.典题精讲【例 1】 求下列函数的导数.(1)y=x4-3x2-5x+6;(2)y=xtanx;(3)y= ;x(4)y=(x+1)(x+2)(x+3).思路分析：仔细观察和分析各函数的结构规律,紧扣求导运算法则,联系基本函数求导公式,不具备求导法则条件的
3、可适当进行恒等变形,步步为营,使待解决问题水到渠成.解:(1)y=(x 4-3x2-5x+6)=(x4)-3(x2)-5x+6=4x3-6x-5.(2)y=(xtanx)=( )xcosin= xxxx 222 cossin)(sin)(i)sin( .xx 22222 cosisii1cossisi (3)解法一：y=( )1.222 )1()1()()()( xxx解法二：y= ,1y= .22)1()1()12()1( xxx(4)解法一：y=(x+1)(x+2) (x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)=(x
4、+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.解法二：y=x 3+6x2+11x+6，y=3x 2+12x+11.绿色通道：理解和掌握求导法则及公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件.运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导法则的实质,特别是商的求导法则,求导过程中符号判断不清,也是导致错误的因素.从本题可看出,深刻理解和掌握导数运算法则,再结合给定函数本身的特点,才能准确、有效地进行求导运算,才能充分调动思维积极性,在解决新问题时举一反三、触类旁通、得心应手.变式训练：求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x-
5、1);(2)y=( -2)2;x(3)y= .cosin思路分析：熟记导数计算的基本公式是解对本题的关键.解:(1)方法一 :y=(2x2+3)(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.方法二:y=(2x 2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,y=(6x 3-2x2+9x-3)=18x2-4x+9.(2)y=( -2)2=x- +4,x4y=x-( )+4.21214x(3)y= ,xsincosiny=x- .x21)(【例 2】 用三块等宽的长方形木板做成一个断面为梯形的水槽(如图 1-2-2 所示) ，问倾斜角 为多大时
6、,水槽的截面积最大?并求出最大截面积.图 1-2-2思路分析：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解.解:设木板的宽为 a，水槽的高为 h,截面积为 S，则S= (a+a+2acos)h= (2a+2acos)asin,2121即 S=a2(1+cos)sin(0 ),S=a2-sin 2+(1+cos)cos=a2-(1-cos 2)+cos+cos2=a2(2cos-1)(cos+1).令 S=0,得 cos= 或 cos=-1(不合题意,舍去)，所
7、以在(0， )内，只取 = .1 23故 = 时，水槽的截面积最大，它的值为 S=a2(1+cos )sin = .3 324a绿色通道：根据题意得出方程后依然要运用导数公式正确解答.此题主要考查导数在实际生活中的应用.有助于提高对数学的应用能力.变式训练：用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体的容器框架,若所制作的容器底面的一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器容积最大 ,并求最大容积.思路分析：根据已知条件先把体积(容积) 表示成一边长 x 的函数.利用求导,解一元二次方程的办法.解:设一边长为 x m 则另一边长为(x+0.5)m,高为 h m.依题意有(2x+0.5+h)4
8、=14.8,得 h=3.2-2x.V=x(x+0.5)(3.2-2x)，V=(x+0.5)(3.2-2x)+x(3.2-2x)- 2x (x+0.5)=-6x2+4.4x+1.6.令 V=0,即-6x 2+4.4x+1.6=0，15x 2-11x-4=0.解得 x=1 或 x= 0(舍).154当 x=1 时，V 最大 =V(1)=11.51.2=1.8.此时 h=3.2-2=1.2(m),即当高为 1.2 m 时容器的容积最大，且最大容积为 1.8 m3.【例 3】求满足下列条件的导数 f(x).(1)f(x)是三次函数，且 f(0)=3,f(0)=0.f(1)=-3,f(2)=0;(2)f
9、(x)是一次函数，x 2f(x)-(2x-1)f(x)=1.思路分析：(1)可设三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0).由条件确定 a、b、c、d.(2)由 f(x)是一次函数,可设 f(x)=ax2+bx+c(a0),然后用条件确定 f(x).解:(1)设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则 f(x)=3ax2+2bx+c.由 f(0)=3,得 d=3.由 f(0)=0,得 c=0.由 f(1)=-3,f(2)=0 可建立方程组.3,1,.04123baba得解 之所以 f(x)=x3-3x2+3.(2)由 f(x)为一次函数可知 f(x)为二次函数.设 f(x)=
10、ax2+bx+c(a0),则 f(x)=2ax+b.把 f(x)、 f(x)代入方程得 x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x 2+(b-2c)x+c-1=0.要使对任意的 x 方程都成立,则需 a=b,b=2c,c=1.解得 a=2,b=2,c=1.所以 f(x)=2x2+2x+1.绿色通道：解决此题首先要将三次函数,二次函数一般形式设出，根据已知条件逐个列出方程.利用待定系数法确定函数的系数是方便可行的方法.变式训练：已知 f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,且 f(2x+1)=4g(x),f(x)=g(x),f(5)=30,求a、b、c、
11、d 的值.解:因为 f(2x+1)=4g(x),所以 4x2+(4+2a)x+a+b+1=4x2+4cx+4d.于是有 )(.41,dbac由 f(x)=g(x)，得 2x+a=2x+c,即 a=c. 由、得 a=c=2.所以 f(x)=x2+2x+b.又因为 f(5)=30,即 25+10+b=30,即 b=-5.将 b=-5 代入,得 d= .21所以 a=2,b=-5,c=2,d= .21问题探究问题：对于函数 f(x)= 和 f(x)= ,判断直线 y=2x+b 是否能作为上述函数图象的切线 ?若x能,求出切点坐标,若不能,简述理由.导思：本题要注意把握知识的内在联系,找出隐含条件,将问题等价转化.探究：假设能作出 y= 的切线,那么设切点为 P(x0,y0)，x1( )= ,在 P(x0,y0)点的切线的斜率为 2.x12则有 (无意义 ).21,00x故这样的切点不存在，所以直线 y=2x+b 不能作为函数 y=1x 的图象的切线.同理，( )= ,在 P(x0,y0)点的切线斜率 k=2.x2则有 ,1,1020即即 x0= .2切点坐标为( )或( , ).,2
