1、课堂导学三点剖析各个击破一、证明数学中的基础命题宜用反证法【例 1】求证:质数有无穷多.证明：如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下:p1,p2,pk,令 q=p1p2pk+1.q 总是有质因数的,但我们可证明任何一个 pi(1ik)都除不尽 q.假若不然,由 pi 除尽 q,及pi 除尽 p1,p2,pk,可得到 pi 除尽(q-p 1p2pk),即 pi 除尽 1,这是不可能的 .故任何一个 pi 都除不尽 q.这说明 q 有不同于 p1,p2,pk 的质因数.这与只有 p1,p2,pk 是全体质数的假定相矛盾.所以质数有无穷多.温馨提示用反证法证明结论是 B 的命题 ,其思路
2、是: 假定 B 不成立,则 B 的反面成立,然后从 B 的反面成立的假定出发,利用一些公理,定理,定义等作出一系列正确的推理 ,最后推出矛盾的结果,从而判断“ 假设 B 不成立”是错误的.则 B 成立.类题演练 1证明:1, ,2 不能为同一等差数列的三项 .3证明：假设 1， ，2 为某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为 d，则 1= -md,2= +nd，其中 m,n 为某两个正整数，由上面两式消去 d，得2m+n=(m+n) ,3因为 n+2m 为有理数，而（ m+n） 为无理数，所以 n+2m(n+m) ,33因此假设不成立，即 1， ，2 不能为同一等差数列的三项.变式提升 1
3、a、 b 是平面内的两条直线,求证:它们最多有一个交点.证明：假设直线 a、b 至少有两个交点 A 和 B，则通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点 .二、某些数学问题的证明可用反证法【例 2】 已知 a、 b、 c(0,1),求证:(1- a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 .41证法一:假设三同时大于 ,即 (1-a)b ,(1-b)c ,(1-c)a ,三相乘,41得:(1-a)a(1- b)b(1-c)c .又(1-a)a( )2= .61同理,(1-b)b ,(1-c)c .以上三相乘得(1-a)a(1
4、-b)b(1-c)c ,这与(1-a)a(1-b) b(1-c)c 矛盾,故结论得证 .641641证法二:假设三同时大于 .0 a 1,1-a0.214a)b-(12)-(1同理, .c,三相加得 矛盾,23原命题成立.温馨提示要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,一般讲,如“是”的反面是“不是”， “有”的反面是“没有” ， “等”的反面是“不等”， “成立”的反面是“不成立 ”， “有限”的反面是“ 无限”，以上这些都是相互否定的字眼，较为易找，应注意以下的否定：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是” （不是“都不是”） ；“都有”的反面为“ 不都有 ”，即“至少一个
5、没有”（不是“都没有”） ；“ 都不是”的反面为“部分是或全部是”，即“ 至少有一个是 ”（不是“都是”） ；“都没有”的反面为“ 部分有或全部有”，即“至少一个有”（不是“都有”）.类题演练 2命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）A. 有两个内角是直角B. 有三个内角是直角C. 至少有两个内角是直角D. 没有一个内角是直角解析：“最多只有一个” 即“ 只有一个或没有 ”，它的反面应是“ 有两个或有三个”.答案：C变式提升 2已知 a 是整数, a 2 是偶数,求证:a 也是偶数.证明：假设 a 不是偶数，则 a 为奇数.设 a=2m+1(m 为整数)，则 a2=4m2+
6、4m+1.4(m 2+m)是偶数，4m 2+4m+1 为奇数，即 a2 为奇数与已知矛盾.a 一定是偶数.三、综合应用【例 3】证明方程 2x=3 有且只有一个根 .证明：2 x=3,x=log23.这说明方程有一个根 .下面用反证法证明方程 2x=3 的根是唯一的.假设方程 2x=3 有两个根 b1、b 2(b1b2),则 2b1=3,2b2=3.两相除,得 2b1-b2=1.如果 b1-b20,则 2b1-b21,这与 2b1-b2=1 相矛盾;如果 b1-b20,则 2b1-b21,这也与 2b1-b2=1 相矛盾.因此 b1-b2=0,则 b1=b2.这就同 b1b2 相矛盾.如果方程
7、的根多于两个,同样可推出矛盾.故 2x=3 有且只有一个根.温馨提示“有且只有”表示“ 存在且唯一 ”因此,在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑,而证明唯一性时,通常使用反证法.类题演练 3已知平面 M 内有两相交直线 a、 b(交点为 P)和平面 N 平行 .求证: 平面 M平面 N.证明：假设平面 M 不平行平面 N，则 M 和 N 一定相交，设交线为 c.a平面 N，ac.同理 bc.则过 c 外一点 P 有两条直线与 c 平行.这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.所以假设不成立.所以平面 M平面 N.变式提升 3直线 a平面 M,平面 N 过 a 且和平面 M 相交于直线 b,求证 :ab.证明：假设 a b.a 、b 共面，则它们相交，设交点为 A.b M,点 A 也在平面 M 内（ 点 A 在直线 b 上）.又 A 点直线 a 上，故 a 与平面 M 有公共点 A，这与题设 a平面 M 相矛盾.假设 a b 不正确.a b.
