1、1.5.2 二项式系数的性质及应用( 二)五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.若多项式 x2+x10=a0+a1（x+1）+a 9（x+1 ） 9+a10（x+1 ） 10，则 a9 等于( )A.9 B.10 C.-9 D.-10答案:D解析：x 10 的系数为 a10= =1,x9 的系数为 a9 +a10 =a9+10=0,所以 a9=-10.01C0C102.若(3 - )n 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为( )xA.-540 B.-162 C.162 D.540答案:A解析：令 x=1,得 2n=64,则 n=6,Tr+1= (3 )6-r(- )r=(-1)
2、r36-r x3-r,rC6x1rC6令 3-r=0,得 r=3,常数项为-27 =-540.63.在(1+x) 3+(1+x)4+(1+x)2004 的展开式中 x3 的系数等于( )A. B. C.2 D.2420C4205C204C3205C答案:B解析:x 3 的系数等于 32043543= 2054= .4533CC4.若二项式(x 3+x-2)n 展开式中只有第 6 项的系数最大,则展开式中的常数项是_.答案:210解析：由第 6 项系数最大 n=10,所以 Tr+1= (x3)10-r(x-2)r= x30-5r.所以 r=6 为常数项,r10C10=210.610C十分钟训练（
3、强化类训练，可用于课中）1.设二项式(3 + )n 展开式的各项系数的和为 P,所有二项式系数的和为 S,若 P+S=272,则3x1n 等于( )A.4 B.5 C.6 D.7答案:A解析：P=(3+1) n=4n,S=2n,所以 4n+2n=272,令 2n=x,x2+x-272=0,所以 x=2n=16,n=4.2.在(1+2x-x 2)4 的多项式展开式中,x 7 的系数是( )A.-8 B.12 C.6 D.5答案:A3.在( +x2)6 的展开式中 x3 的系数和常数项依次是( )x1A.20,20 B.15,20 C.20,15 D.15,15答案:C解析：T r+1= ( )6
4、-r(x2)r= x3r-6,当 Tr+1 为 x3 项时,r=3,所以 T4=20x3,当 Tr+1 为常数项时,r=2,所r6xC6以 T3= =15.24.若(3x-1) 7=a7x7+a6x6+a1x+a0,求 a1+a2+a7=_-.答案:129解析：令 x=0,则 a0=-1,令 x=1,则 a7+a6+a1+a0=27=128.a1+a2+a7=129.5.（2x+ ） 4 的展开式中 x3 的系数是( )xA.6 B.12 C.24 D.48答案:C解析：通项为 Tr+1= (2x)4-r( )rrC4x= 24-rx .r4r令 4- =3, =1,r=2,T3= 22x3=
5、 4x3=24x3,4Cx3 的系数是 24.6.求值: .nnnn C)1(43210 解:原式= - nC nnn C)1(321=(1-1)n-n 12110 )(n=-n(1-1)n-1=0.30 分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.已知(5x-3) n 的展开式中 ,各项系数的和比 (a-b- )2n 的展开式中各项系数的和多 1 023,则 nb的值为( )A.9 B.10 C.11 D.12答案:B解析：令 a,b,x 均等于 1,所以 2n-1=1 023 2n=1 024 n=10.2.(1.05)6 的计算结果精确到 0.01 的近似值是（ ）A.1.23 B.1.24
6、C.1.34 D.1.44答案:C解析：1.05 6=(1+0.05)6=1+ 0.05+ 0.052+ 0.053+1C66C1+0.3+0.037 5+0.002 51.34.3.如果(1+2x) 3=a0+a1x+a2x2+a3x3,那么 a0-a1+a2-a3 等于（ ）A.-1 B.1 C.-27 D.27答案:A解析：令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3=(1-2)3=-1,选 A.4.(1-3a+2 004b)5 展开式中不含 b 的项的系数之和为（ ）A.-32 B.81 C.2 0045 D.-3答案:A解析：显然不含 b 的项为(1-3a) 5.令 a=1,则得其系数为
7、-32.5.若(1+mx) 6=a0+a1x+a2x2+a6x6,且 a1+a2+a3+a6=63,则实数 m 的值为.答案:-3 或 1解析：令 x=0,则 a0=1.令 x=1,则 a0+a1+a6=(1+m)6.两式相减得 a1+a2+a6=(1+m)6-1=63.解得 m=-3 或 1.6.已知(1+2x) 100=a0+a1x+a2x2+a100x100,则a0+a1+a2+a100=_;a1+a3+a5+a99=_.答案:3 100 解析：令 x=1,得 3100=a0+a1+a100,令 x=-1,得 1=a0-a1+a100,两式相减即得 a1+a3+a99= .207.若（1
8、-2x) 2004=a0+a1x+a2x2+a2004x2004(xR)，则(a 0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2004)=.(用数字作答)答案:2 004解析：令 x=0,得 a0=1;令 x=1,得 1=a0+a1+a2+a2004,故(a 0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2004)=2 003+a0+a1+a2004=2 004.8.(1)已知( )n 的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是 143,求展开式23x中不含 x 的项.(2)求(x-1)-(x-1) 2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 的展开式中 x2 的系数
9、.解:(1)依题意，第五项的二项式系数为 ,4nC第三项的二项式系数为 ，2n =143.4nC2n=10 或-5( 舍).Tr+1= x ( )rx-2r= ( )rx .r10)(2r3rC103r25令 5- r=0,则 r=2.常数项为 T3=5.25(2)含 x2 的项为-x 2- =-20x2.2543xCx原式展开式中 x2 项的系数为-20.9.设 f(x)=(1+2x-3x2)6,试求：（1）f(x) 展开式中含 x5 的项的系数；（2）f(x) 展开式中所有项的系数和；（3）f(x) 展开式中所有奇数项的系数和.解:(1)f(x)=(1+2x-3x 2)6=(-x+1)6(
10、3x+1)6,f(x)展开式中含 x5 的项为（-x 5+ (-x)4 3x+ (-x)3 (3x)2+ (-x)26C616C66C6(3x)3+ (-x) (3x)4+ (3x)5=-168x5.1含 x5 项的系数为-168.(2)令 x=1,则 f(x)=(1+2-3)6=0.f(x)展开式中所有项的系数和为 0.(3)显然 f(x)展开式中奇数项的系数都为正,偶数项的系数都为负.两者和为 0,奇数项的系数和为 (1+2+3)6=23 328.2110.(1)已知 2n+23n+5n-a 只能被 25 整除,求正整数 a 的最小值；（2）求证：对任意 nN*,33n-26n-1 可被 676 整除.(1)解:2 n+23n+5n-a=46n+5n-a=4（5+1） n+5n-a=45n+4 5n-1+4 n52+4 5+4+5n-a1C1nC=45n+4 5n-1+4 52+25n+4-a.2n+23n+5n-a 能被 25 整除，正整数 a 的最小值为 4.(2)证明:3 3n-26n-1=27n-26n-1=(26+1)n-26n-1=26n+ 26n-1+ 262+ 26+1-26n-11C1C=26n+ 26n-1+ 262.n262=676,33n-26n-1 可被 676 整除.
