1、自主广场我夯基 我达标1.设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为( )A. B. C. D.3V32V34V32V思路解析：设底面边长为 x，则表面积S= (x0),x42S= (x3-4V),令 S=0,2得唯一极值点 x= .34V答案:C2.在半径为 r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底长为( )A. B. C. D.r2r23r3思路解析：设梯形的上底长为 2x,高为 h，面积为 S.h= ,S= =(r+x) .2xr2xr2xr令 S= .2222 )()( rrr 令 S=0，得 x= ,h= ,当
2、 x(0, )时,S0;3当 xr 时，S0.21当 x= 时，S 取极大值，当梯形的上底长为 r 时，它的面积最大.答案:D3.以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( )A.10 B.15 C.25 D.50思路解析：如下图，设NOB=，则矩形面积 S=5sin25cos=50sincos=25sin2.故 Smax=25.答案:C4.有一长为 16 米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为_.思路解析：设矩形长为 x，则宽为 8-x，矩形面积 S=x(8-x)(x0) ，令 S=8-2x=0，得 x=4.此时 S 最大 =42=16.答案:1
3、65.函数 y= 的值域为_.12x思路解析：f(x)= .2)(1x令 f(x)=0,得 x= ,又定义域为-1,1,1且 f(1)=0,f( )= .23答案:0, 6.将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段，一段变成圆形一段弯成正方形，问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.思路分析:设其中一段长为 x,然后列出 S 关于 x 的函数式 .解:设弯成圆的一段长为 x,则另一段为 100-x.设正方形与圆的面积之和为 S,则S=( )2+( )2(0x100).x410S= (100-x).令 S=0，得8x= 44(cm).由于在(0，100)内函数只有一个导数为 0 的点
4、，故当 x= 时,S 最小.410此时 S= ,即截成圆形的一段长为 时面积之和最小,最小值为2)(541.2)4(10我综合 我发展7.设 A、B 两地相距 30 千米(如图 1-4-4),在它们之间铺设一条铁路,A、B 两地到 x 轴的距离为 5 千米,由于地质条件不同,在 y0 地质铺设费用为 105 元/千米,而 y0 地质为 6104 元/千米.求最经济的铺设线路.图 1-4-4思路分析:建立相应的数学模型 ,将铺设费用表示成关于变式 的函数式.解:由图及对称性,研究 y 轴一侧即可 ,CD=5cot,AC= ，设铺设费用为 p,则 p=(15-5cot)sin56104+ 105.
5、sinp=310 5 .252sinco10令 p=0，则 cos= ,CD= .34在 x 轴上取点 C( ,0)和点 E( ，0) ，则ACCEEB 为最佳经济线路 .8.某生产饮品的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量 (万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 = (x0)，已知生产此产品的年固定投入为 3 万13x元，每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元，若每年售价为“年平均每件成本的 150%”与平均每件所占广告费的 50%之和 ;(1)试将利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元) 的函数; 如果年广告费投入 100 万元,企业是亏损还是盈利?(2)
6、当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?思路分析:年利润=(年收入)-(年成本)-(年广告费)，找出 x 与 y 的关系式(注意定义域 ).解:(1)由题意 ,每年产销 万件 ,共计成本为(32+3)万元.销售价是(32+3)150%+x50%.年利润 y= (32+3-x)= (32 +3-x)2113x= (x0).)(3598x所求函数关系式为 y= (x0).)1(23598x当 x=100 时,y0,即当年广告费投入 100 万元时,企业亏损.(2)由 y= (x0)可得)1(23598xy= .22 )1(63)1()3598)982( xxxx令 y=0,则 x2+2x-63=
7、0.x=-9(舍)或 x=7.又 x(0,7)时,f(x)0;x(7,+)时,f(x)0,f(x) 极大值 =f(7)=42.又在(0,+)上只有一个极值点,f(x) max=f(x)极大值 =f(7)=42.当年广告费投入 7 万元时,企业年利润最大.9.随着我国加入 WTO,某地方企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产 ,打入国际市场,已知投资生产这两种产品的有关数据如下:(资金单位:万美元)年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产件数甲产品 20 a 10 200乙产品 40 8 18 120其中年固定成本与年生产件数无关，a 为常数，且 3a8.另外,年销售 x
8、 件乙产品时需上交0.05x2 万美元的特别关税.在不考虑其他因素的情况下:(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润 y1、y 2 与相应生产件数 x(xN *)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何选择投资方案可获较大年利润？思路分析:本题仍然是考查导数求最值在实际生活中的应用，按照一般解应用题的几个步骤求解即可.解:(1)y 1=(10-a)x-20(1x20，xN *)，y2=-0.05x2+10x-40(1x120，xN *).(2)当 x=200 时，y 1 获得最大值 S1=1 980-200a(万美元),y2=-0.1x+10,由 y=0，得 x=100.当 x=100 时，y 2 获得最大值 S2=460(万美元).(3)当 3a7.6 时,投资生产 200 件甲产品可获较大利润; 当 a=7.6 时,投资生产 200 件甲产品和 100 件乙产品可获相同利润；当 7.6a8 时,投资生产 100 件乙产品可获最大利润.
