1、数学苏教版 2-2 第 2 章 推理与证明单元检测一、填空题1用反证法证明命题“若 a2b 20，则 a，b 全为 0(a，bR )”，其反设是_2周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是_3用数学归纳法证恒等式 ，11123422nn 由 nk 到 n k1 时，两边应同时加上_4对于等差数列a n有如下命题：“若a n是等差数列，a 10，s，t 是互不相等的正整数，则有(s1)a t(t1) as0” 类比此命题，给出等比数列b n相应的一个正确命题：“_”5若 ， (a0) ，则 P，Q 的大小关系是7P34Q_6补充下列证明过程：要证 a2b 2c 2
2、abbcac ，即证 _，即证_7下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，则这个数列的一个通项公式为_8已知 x，y 为正数，当 x2 y2_时，有 .2211xyx9一个等差数列a n，其中 a100，则有a1a 2a na 1a 2a 19n (1n19，nN *)一个等比数列b n，其中 b151.类比等差数列a n，下列结论中，正确的是_(填序号)b 1b2bnb 1b2b29n (1n29，nN *)b 1b2bnb 1b2b29nb 1b 2b nb 1b 2b 29n (1n29，nN *)b 1b 2b nb 1b 2b 29n10已知不等边三角形的三边按
3、从小到大的顺序排列成等比数列，则公比 q 的取值范围是_11设 f(x)为奇函数，f(1) ，f (x2) f (x)f (2)，则 f(5)_.12设函数 f(x) (x0) ，观察：2f1(x)f (x) ，f2(x)f (f1(x) ，34f3(x)f (f2(x) ，78f4(x)f (f3(x) ，156根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN *且 n2 时，f n(x)f(f n1 (x)_.二、解答题13已知 0a1，求证： .49a14(2012 福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin 213cos 217sin 13cos 17；si
4、n 215cos 215sin 15cos 15；sin 218cos 212sin 18cos 12；sin 2(18)cos 248sin(18)cos 48；sin 2(25)cos 255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论15已知函数 f(x)a x (a1)，用反证法证明方程 f(x)0 没有负数根1参考答案1. 答案：a，b 至少有一个不为 02. 答案：表面积一定的空间几何体中球的体积最大3. 答案： 解析：左边含变量 ，12k12n因此 nk1 时，应再加上 12
5、k4. 答案：若b n是等比数列，b 11，s，t 是互不相等的正整数，则有1stb5. 答案：PQ 解析：假设 PQ ，要证 PQ，只要证 P2Q 2，只要证：2a7 2a7 ，34a只要证：a 27aa 27a12，只要证：012，012 成立，PQ 成立.6. 答案：2(a 2b 2c 2)2ab 2bc 2ac (ab) 2(bc) 2( ac) 207. 答案：a n3 n18. 答案：1 解析：要使 ，1xyx只需 x2(1y 2) 1y 2(1x 2) ，2即 1x 2y 2.只需使( y) 20，即 y，x 2y 21.29. 答案： 解析：等差数列a n中，a 100，知以
6、a10 为等差中项的项和为 0，如a9a 11a 8a 12a 2a 18a 1a 190.而等比数列b n中 b151，类比，有b1b29b 2b28b 14b161.从而类似的总结规律应为各项之积.等差数列a n中，a 100，a 1a 19a 2a 18a 8a 12a 9a 110，即 a19n a n1 0，a18n a n2 0，a17n a n3 0，等比数列b n中，b 151，b 1b29b 2b28b 14b161，即 b29n bn1 1，b 28n bn2 1，从而比较知正确 .10. 答案：1q 解析：设三角形的三边长为 a，b，c，且 abc，5则 baq，caq
7、2.2.aq，a0，1q .15211. 答案： 解析：f(1) ，f (x)为奇函数，f(1)f(1) ，f(0)0.f(x 2)f(x)f(2)，f(1)f(1 2)f(1)f(2).f(2)1，f(3)f(1 2)f(1)f(2) ，32f(5)f(2 3)f(3)f(2) 1 .512. 答案： 解析：由已知可归纳如下： ，()nnx111()2)xf， ， ，222()1)xf333(1)2f444()2xf.nnn13. 答案：证明：由于 0a1，1a0.要证明 ，491a只需证明 1a4a9a9a 2，即 9a26a10，只需证明(3a1) 20，(3a1) 20 显然成立，原不
8、等式成立.14. 答案：解法一：(1)选择式，计算如下：sin215cos 215sin 15cos 151 sin 30 .2134(2)三角恒等式为 sin2cos 2(30)sin cos(30) .证明如下：sin2cos 2(30) sin cos(30)sin 2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin 2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin2341431 sin2 cos2 .解法二：(1)同解法一.(2)三角恒等式为 sin2cos 2(30)sin cos(30) .34证明如下：sin2
9、cos 2(30) sin cos(30) sin (cos 301cos2cs(602)cos sin 30sin ) cos 2 (cos 60cos 2sin 60sin 2) sin cos sin21131 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 (1cos 2 )43411 cos 2 cos 2 .4115. 答案：证法一：假设方程 f(x)0 有负数根，设存在 x00( x01)，满足 f(x0)0，则 .01xa又 0 1，所以 0 1，即 x 02.0x 2x与假设 x00 矛盾，故方程 f(x)0 没有负数根.证法二：假设方程 f(x)0 有负数根，设存在 x00(x 01)，满足 f(x0)0.(1)若1x 00，则 2， 1，00xa所以 f(x0)1，与 f(x0)0 矛盾.(2)若 x01，则 0， 0，2xa所以 f(x0)0，与 f(x0)0 矛盾.故方程 f(x)0 没有负数根.
