1、自主广场我夯基 我达标1.实数 a、b、c 不全为 0 的条件为（ ）A.a、b、c 均不为 0 B.a、b、c 中至多有一个为 0C.a、b、c 中至少有一个为 0 D.a、b、c 中至少有一个不为 0思路解析:实数 a、b、c 不全为 0 的条件是 a、b、c 至少有一个不为 0.答案:D2.x、yR，且 x2+y2=1，则（1-xy） （1+xy）有（ ）A.最小值 ，无最大值. B.最小值 1，无最大值.43C.最小值 ，最大值 1 D.最大值 1，最小值2 43思路解析:设 x=cos,y=sin,则(1-xy)(1+xy)=(1-sincos)(1+sincos)=1-sin2co
2、s2=1- sin22.4sin 220,1,(1-xy)(1+xy) ，1.43答案:D3.设 a、b、c 都是正数，则三个数 a+ ，b+ ，c+ （ ）bcaA.都大于 2 B.至少有一个大于 2C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2思路解析:a+ + +c+b+b1ca=a+ +b+ +c+ 2+2+2=6.a所以 a、b、c 中至少有一个大于 2.答案:B4.已知 a、b、c 都是正数，S= ，则有（ bdcadbac）A.0S1 B.1S 2 C.2S3 D.3S 4思路解析:S =1,且 Scccdcba=2.1S2.答案:B5.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小
3、于 60.证明：假设ABC 的三个内角 A，B ，C 都小于 60,即A60,B60,C60.相加得A+ B+C180.这与三角形内角和定理矛盾，所以A, B,C 都小于 60的假设不能成立,从而一个三角形中，至少有一个内角不小于 60.6.求证：当 x2+bx+c2=0 有两个不相等的非零实数根时，bc0.证明：假设 bc=0,则有三种情况出现：（1）若 b=0,c=0 方程变为 x2=0,x1=x2=0 是方程 x2+bx+c2=0 的根，这与已知方程有两个不相等的实根相矛盾.（2）若 b=0,c0,方程变为 x2+c2=0,但当 c0 时，x 2+c2=0;但 c0 时，x 2+c20
4、与 x2+c2=0 矛盾,（3）若 b0,c=0,方程变为 x2+bx=0,方程的根为 x1=0,x2=-b.这与已知条件方程有两个非零实根相矛盾.综上所述，bc0.7.证明：1， ，2 不能为同一等差数列的三项.3证明：假设 1， ，2 是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为 d,则 1=3-md，2= +nd，其中 m、n 为某两个正整数，由上面两式消去 d,得 n+2m=(m+n) ，因3为 n+2m 为有理数，而（ m+n) 为无理数，所以 2m+n (m+n)，因此，假设不成立，33即 1， ，2 不能为同一等差数列的三项.38.平面上有四个点，设有三点共线.证明：以每三点为顶
5、点的三角形不可能都是锐角三角形.证明：假设以每三个点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为 A、B、C、D.考虑点 D 在ABC 之内或之外有两种情况：（1）如果点 D 在ABC 之内， （如图（1） ） ，根据假设围绕点 D 的三个角都是锐角，其和小于 270，这与一个周角等于 360矛盾.（2）如果点 D 在ABC 之外（如图（2） ） ，根据A 、 B、C、D 都大于 90， 这和四边形 ABCD 的内角和为 360相矛盾.综上所述，假设不成立，从而题目中的结论成立.9.已知 a0,证明关于 x 的方程 ax=b 有且只有一个根.证明：由于 a0，因此方程至少有一个根 x= ,a
6、b如果方程不是一个根，不妨设 x1、x 2 是它的两个不同根，即 ax1=b，ax2=b，-得 a(x1-x2)=0.因为 x1x2，所以 x1-x20，所以应有 a=0，这与已知相矛盾，故假设不成立 .所以当 a0 时，方程 ax=b 有且只有一个根.10.（精典回放）设 y=f(x)是定义在区间 -1，1上的函数，且满足条件： f(-1)=f(1)=0;对任意的 、v-1,1,都有f(u)-f(v)-v(1)证明：对任意的 x-1,1 ,都有 x-1f(x)1-x;(2)证明：对任意的 、v -1,1,都有f(u)-f(v)1;(3)在区间-1 ， 1上是否存在满足题设条件的奇函数 y=f
7、(x),且使得：f()-f(v) -v，当 、v0, .21f()-f(v) -v,当 、v ,1.若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.（1）证明：由题设条件可知，当 x-1,1时，有|f(x)|=|f(x)-f(1)|x-1|=1-x.即：x-1f(x)1-x.（2）证明：对任意的 u、v-1，1.当|u-v|1 时，有|f(u)-f(v)|u-v|1.当|u-v|1 时，有 uv0，不妨设 u0，则 v0,且 v-u1,所以|f(u)-f(v)|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)1.综上可知：对任意的 u、v-1,1，都有
8、|f(u)-f(v)|1.(3)解：满足所述条件的函数不存在，理由如下：假设存在函数 f(x)满足条件，则由|f(u)-f(v)|=|u-v|,u、v ,1,21得|f( ）-f(1)|=| -1|= .21又 f(1)=0,所以|f( )|=又因为 f(x)为奇函数，所以 f(0)=0.由条件|f(u)-f(v)|u-v|,u,v0, ,21得|f( )|=|f( )-f(0)| .21这与|f( )|= 矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.我综合 我发展11.在ABC 中，若C 是直角，求证：B 一定是锐角.证明：假设B 不是锐角，则 B 为直角或钝角，在ABC 中，A+B+C 90
9、+90+A 180.这与三角形的内角和为 180相矛盾.从而B 一定为锐角.12.求证： 、 、 不可能成等差数列.235证明：假设 、 、 成等差数列，则有 - = - ，即 2 = + ，32535两边平方得：12=7+ ，5= ，102两边再平方得：25=40 显然不成立，从而假设不成立. 、 、 不可能成等差数列.23513.如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.证明：不妨设直线 a,b,l 中，ab,l 与 a 是异面直线，且 l 与 b 不相交.假设 l 与 b 不是异面直线，则 l 与 b 共面，即 l 与 b 可
10、能相交，也可能平行.若 l 与 b 相交，这与已知矛盾 .若 l 与 b 平行，即 lb,又 ab,得 la,这与 l 与 a 异面相矛盾.综上可知，l 与 b 是异面直线 .14.已知函数 f(x)对其定义域内的任意两个实数 a、b，当 ab 时，都有 f(a)f(b), 证明 f(x)=0 至多有一个实根.证明：假设 f(x)=0 至少有两个不同的实根 x1、x 2，不妨设 x1x 2，由方程的定义，f(x 1)=0,f(x2)=0,则 f(x1)=f(x2) 但已知 x1x 2 时，有 f(x1)f(x 2)，这与式相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立 .15.已知a n是由非负整数组成
11、的数列，满足 a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,用反证法证明 a3=2.证明：由题设得 a3a4=10，且 a3,a4 均为非负整数，a 3 的可能值为 1，2，5，10.若 a3=1,则 a4=10,a5= 与题设矛盾.若 a3=5,则 a4=2,a5= ，与题设矛盾.若 a3=10,则 a4=1，a 5=60,a6= ,与题设矛盾.a 3=2.316.求证：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)最多有两个不相等的实根.证明：假设方程有三个不相等的实根 x1,x2,x3,则)3(0213212cbxa由-得：a(x 1+x2)+b=0 由-得：a(x 1+x3)+b=0 由-得：a(x 2-x3)=0a0 x 2-x3=0即 x2=x3，这与假设 x1x2x3 相矛盾，原方程最多只有两个不相等的实根.
