1、互动课堂疏导引导1.几何概型的定义在古典概型中,利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率；不过,古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制,人们当然要竭力突破这个限制,以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.对于这
2、一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域 D,又知区域 d 包含在区域 D 内（如下图所示）,而区域 D 与 d 都是可以度量的（可求面积、长度、体积等）,现随机地向D 内投掷一点 M,假设点 M 必落在 D 中,且点 M 可能落在区域 D 的任何部分,那么落在区域d 内的概率只与 d 的度量（长度、面积、体积等）成正比,而与 d 的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点）,称为几何概型.2.几何概型的概率计算一般地,在几何区域 D 中随机地抽取一点 ,记“该点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A,则事件 A 发生的概率P(A)= .的 测 度的 测 度d这里要求 D 的测度不为
3、0,其中“测度”的意义依 D 确定,当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度” 分别是长度、面积和体积等.疑难疏引 （1）几何概型的概率的取值范围同古典概型概率的取值范围一样,几何概型的概率的取值范围也是 0P(A)1.这是因为区域 d 包含在区域 D 内,则区域 d 的“测度”不大于区域 D 的“测度”.当区域 d 的“测度”为 0时,事件 A 是不可能事件,此时 P(A)=0；当区域 d 的“测度 ”与区域 D 的“测度”相等时,事件 A是必然事件,此时 P(A)=1.（2）求古典概型概率的步骤：求区域 D 的“ 测度” ；求区域 d 的 “测度”；代入计算公式.（3）对于一
4、个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率,关键在于将问题几何化,也即可根据问题的情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点,使得全体结果构成一个区域,且是可度量的.案例 1 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆车通过（假设每一辆车带走站上的所有乘客）,乘客到达汽车站的任一时刻是任意的,求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率.【探究】这是一个与长度有关的几何概型问题.记 A=“候车时间不超过 3 分钟”.以 x 表示乘客到车站的时刻,以 t 表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,据题意,乘客必然在（t-5,t内来到车站,于是 D=x|t-5xt
5、.若乘客候车时间不超过 3 分钟,必须 t-3xt,所以 A=x|t-3xt据几何概率公式得P（A）= =0.65的 长 度的 长 度Dd规律总结 （1）把所求问题归结到 x 轴上的一个区间内是解题的关键 .然后寻找事件 A 发生的区域,从而求得 d 的测度.（2）本题也可这样理解：乘客在时间段（0,5内任意时刻到达,等待不超过 3 分钟,则到达的时间在区间2,5内.案例 2 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率.【探究】这是一类与面积有关的几何概型问题.设 A=两艘船中至少有一艘停靠时等待.建立平面直
6、角坐标系 ,x 轴表示甲船到达的时间,y 轴表示乙船到达的时间,则（x,y）表示的所有结果是以 24 为边长的正方形.事件 A 发生的条件是 0 x-y6 或 0y-x6,即图中阴影部分,则 D 的面积为 242,d 的面积为 242-182.P（ A）= .17482规律总结 (1)甲、乙两船都是在 024 小时内的任一时刻停靠 ,故每一个结果对应两个时间；分别用 x,y 轴上的数表示,则每一个结果（x,y）就对应于图中正方形内的任一点.（2）找出事件 A 发生的条件 ,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可.（3）这一类问题我们称为约会问题.案例 3 在长度为 a 的线段上任取两点将线
7、段分成三段,求它们可以构成三角形的概率.【探究】解法一：假设 x、y 表示三段长度中的任意两个,因为是长度,所以应有 x0,y0且 x+ya,即 x、y 的值在以（0,a） 、(a,0)和（0,0）为顶点的三角形内,如右图所示.要形成三角形,由构成三角形的条件知,x 和 y 都小于 ,且 x+y (如图阴影部分).2a又因为阴影部分的三角形的面积占形成总面积的 ,故能够形成三角形的概率为 .4141解法二：如右图,作等边三角形 ABC,使其高为 a,过各边中点作DEF. DEF 的面积占ABC的面积的 .因为从ABC 内任意一点 P 到等边三角形三边的垂线段长度之和等于三角形的41高（由等积法
8、易知）,为了使这三条垂线线段中没有一条的长度大于 ,P 点必须落在阴影部2a分即DEF 内（DM= ）.所以符合题意要求的情况占全部情况的 ,即所求概率为 .2a 4141解法三：如下图,作一边长为 a 的正方形,过相对两边的中点作两条斜线,阴影部分占整个正方形面积的 .令 AB 上距离底边为 x 的点表示第一个截点的位置,则第二个截点一定落入阴41影部分（y ,z ）.因此,符合题意要求的情况占全部情况的 .2a 41所以所求的概率为 .规律总结 解决此题的关键在于弄清三角形三边长之间的关系,由题意易知,三边长之和为定值 a,且三边长分别小于 a2.把握住了这两点,就能使问题准确获解.3.随
9、机数的产生与随机模拟方法（1）随机数的产生利用计算器或计算机产生0,1上的均匀随机数 x1=RAND,然后利用伸缩和平移变换,x=x1*(b-a)+a,就可以得到a,b内的均匀随机数,试验的结果是a,b上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的.（2）随机模拟试验用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法进行,因而随机模拟试验就成为一种重要的方法,它可以在短时间内多次重复.用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑：由影响随机事件
10、结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型（一维）只用一组,面积型（二维）需要用两组.由所有的基本事件总体（基本事件空间）对应区域确定产生随机数的范围.由事件 A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式.（3）随机模拟的基本思想是用频率近似于概率,频率可由试验获得.案例 4 取一根长度为 3 m 的绳子 ,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多大？【探究】在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍0,3内的任意实数,并且每一个实数被取到的可能性相等,因此在任意位置剪断绳子的所有结果（即基本事件）对应0,3 上的均匀随机数 ,其中1,2上
11、的均匀随机数就表示剪断位置与端点 的距离在1,2内,也就是剪得两段的长都不小于 1 m,这样取得的1,2内的随机数个数与0,3内的随机数个数之比就是事件 A 发生的频率.【解析】记事件 A=剪得两段的长都不小于 1 m.利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND.经过伸缩变换,a=a 1*3.统计出试验总次数 N 和1,2内的随机数个数 N1.计算频率 fn(A)=N1/N 即为概率 P（A）的近似值.规律总结 用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件 A 及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.案例 5 利用随机模拟方法计算图中阴影部分（曲线 y=2x 与 x
12、 轴,x=1 围成的部分）的面积.【探究】在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.【解析】 （1）利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.（2）进行平移和伸缩变换,a=2a 1-1,b=b1*2,得到一组-1,1上的均匀随机数和一组0,2上的均匀随机数.（3）统计试验总次数 N 和落在阴影内的次数 N1（满足条件 b2 a 的点（a,b） ）.（4）计算频率 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值.1（5）用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 P= .4S .N14SS 即为阴影部分面积的近似值.
13、1规律总结 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率,然后通过方程求得阴影部分面积的近似值.活学巧用1.判断下列概率模型是古典概型还是几何概型？（1）如下图,转盘上有 8 个面积相等的扇形.转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率.(2)在 500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2 mL 水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.解析：以上 2 个试验的可能结果个数无限,所以它们都不是古典概型.而是几何概型.2.利用几何概型求概率应注意哪些问题？解：应该注意到:（1）几何型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；（2）几何概型主要用于解决与长
14、度、面积、体积有关的题目；（3）公式为 P(A)= ；),(体 积面 积长 度试 验 结 果 所 构 成 的 区 域 体 积面 积的 区 域 长 度构 成 事 件 A（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件 A 包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.3.有一杯 1 L 的水 ,其中含有 1 个细菌,用一个小杯从这杯水中取出 0.1 L 水,则小杯水中含有这个细菌的概率为（ ）A.0 B.0.1 C.0.01 D.1解析：1 个细菌在 1 L 的水中,在每一个位置都是可能的,那么只有这个细菌在这 0.1 L 的水中,这件事件才能发生.由几何概型公式得 P（A）= =0.1.A1.0全
15、 部 的 体 积的 体 积发 生 事 件答案：B4.如下图,如果你向靶子上射 200 支镖,大概有多少支镖落在红色区域（颜色较深的区域） （ ）A.50 B.100 C.150 D.200解析：这是几何概型问题.这 200 支镖落在每一点的可能性都是一样的,对每一支镖来说,落在红色区域的概率 P= ,每一支镖落在红色区域的概率都是 12,则 200 支21圆 的 面 积红 色 区 域 面 积镖落在红色区域的概率还是 ,则落在红色区域的支数=200 支 =100 支.2121答案：B5.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率分别为_,_.解析：这是几何概型问题,在平面上
16、随机撒一粒黄豆,那么黄豆既可能落在三角形内,也可能落在圆内空白区域,并且落在每一点的可能性是一样的,只有落在三角形内才说明事件 A 发生.P（A）= = .2a圆 的 面 积三 角 形 的 面 积 1P（A）= = .圆 的 面 积三 个 扇 形 的 面 积 83答案： 1836.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为 30 秒,黄灯亮的时间为 5 秒,绿灯亮的时间为 40 秒.当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.解：在 75 秒内,每一时刻到达路口的时候是等可能的,属于几何概型.（1）P= = ；全 部 时 间亮 红 灯 的 时 间 52)40(
17、3（2）P= = ；全 部 时 间亮 黄 灯 的 时 间 175（3）P= = = .全 部 时 间不 是 红 灯 亮 的 时 间 全 部 时 间黄 灯 或 绿 亮 的 时 间 53747.在线段0,3上任取一点,则此点坐标不小于 2 的概率是( )A. B. C. D.12397解析：在线段0,3上任取一点的可能性是相等的,若在其上任意取一点,此点坐标不小于 2,则该点应落在线段2,3上.所以,在线段0,3上任取一点,则此点坐标不小于 2 的概率应是线段2,3的长度与线段0,3的长度之比,即为 .31答案：A8.圆 O 有一内接正三角形,向圆 O 随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率是
18、 _.解析：向圆内投点,所投的点落在圆形区域内任意一点的可能性相等,所以本题的概率模型是几何概型.向圆 O 随机投一点 ,则该点落在内接正三角形内的概率应为正三角形的面积与圆的面积的比.答案： 439.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6：307：30 之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上 7：008：00 之间,问你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件 A）的概率是多少？解析：如下图所示,正方形区域内任取一点的横坐标表示送报人到达的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在正方形内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件,根据题意,只要点落到阴影部分,就表
19、示父亲在离开家前得到报纸,即事件 A 发生,所以P(A)= =87.5%.260310.如右图所示,在直角坐标系内,射线 OT 落在 60的终边上 ,任作一条射线 OA,求射线 OA 落xOT 内的概率 .分析：以 O 为起点作射线 OA 是随机的,因而射线 OA 落在任何位置都是等可能的 ,落在xOT 内的概率只与 xOT 的大小有关 ,符合几何概型的条件 .解：设事件 A“射线 OA 落在 xOT 内”.事件 A 的角度是 60,区域 D 的角度是 360,所以,由几何概率公式得 P（A）= .613011.甲、乙两辆货车停靠站台卸货的时间分别是 6 小时和 4 小时,用随机模拟法估算有一
20、辆货车停靠站台时必须等待一段时间的概率.解析：设事件 A：“有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间 ”.（1）利用计算器或计算机产生两组 0 到 1 区间的均匀随机数,x 1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩变换,x=x 1*24,y=y1*24 得到两组0,24上的均匀随机数.（3）统计出试验总次数 N 和满足条件 -4x-y6 的点（x,y）的个数 N1.（4）计算频率 fn(A)= ,即为概率 P（A）的近似值.112.如右图,在长为 4 宽为 2 的矩形中有一以矩形的长为直径的半圆,试用随机模拟法近似计算半圆面积,并估计 值.解析：设事件 A：“随机向矩形内投点,所投的点落在半圆
21、内 ”.（1）利用计算机或计算机产生两组 0 到 1 区间的均匀随机数,x 1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x 1*4-2,y=y1*2.（3）统计出试验总数 N 和满足条件 x2+y24 的点（x,y）的个数 N1.（4）计算频率 fn(A)= ,即为概率 P（A）的近似值.1半圆的面积为 S1=2,矩形的面积为 S=8.由几何概型概率公式得P（A）= ,所以 = .所以 即为 的近似值.4N1413.利用随机模拟法近似计算右图中阴影部分（曲线 y=log3x 与 x=3 及 x 轴围成的图形）的面积.解析：设事件 A：“随机向矩形内投点,所投的点落在阴影部分 ”.（1）利用计算器或计算机产生两组 0 到 1 之间的均匀随机数,x 1=RAND,y1=RAND.（2）经过伸缩平移变换,x=x 1*3,y=y1*3.得到两组0,3的均匀随机数.（3）统计出试验总次数 N 和满足条件 ylog 3x 的点（x,y）的个数 N1.（4）计算频率 fn(B)= ,即为频率 P（A ）的近似值.1设阴影部分的面积为 S,正方形的面积为 9,由几何概率公式得 P（A）= .9S所以 = ,故 S= 即为阴影部分面积的近似值.N19S1
