1、课后导练基础达标1.设导弹发射的事故率为 0.01，若发射 10 次，其出事故的次数为 X，则下列结论正确的是（ ）A.EX=0.1 B.DX=0.1C.P(X=k)=0.01k0.9910-k D.P(X=k)= 0.99k0.0110-kC10解析：XB（n,p）,EX=100.01=0.1.答案：A2.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X 表示甲机床生产 1 000 件产品中的次品数，Y 表示乙机床生产 1 000 件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X、Y 的分布列分别是X 0 1 2 3P 0.7 0.1 0.1 0.1Y 0 1 2 3P 0.5 0.3 0.2 0据此判定（ ）
2、A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同 D.无法判定解析：EX=0.6,EY=0.7.由于 EXEY,甲机床生产 1 000 件产品出现的次品平均数比乙机床的少.故应选 A.答案：A3.某次会议前向 400 名有关人士发出参加会议的邀请书，但据统计每位被邀请的人来参加会议的概率都是 ，会务组将发给每一位到会的人一份有关资料，则会务组至少应准备资43料的份数为（ ）A.400 B.300 C.200 D.100解析：设 X 为到会的人数，则 XB（400， ）,43所以 EX=400 =300,故至少准备 300 份.答案：B4.某一计算机网络有 n 个终端，每个终端在一天中使用的
3、概率为 p，则这个网络中一天平均使用的终端个数是（ ）A.np(1-p) B.np C.n D.p(1-p)解析：设每次使用的终端个数为 X，则 XB（n,p） ，EX=np.答案：B5.(2005 天津高考)某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%.下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果：投资成功 投资失败192 次 8 次则该公司一年后估计可获收益的期望是_元.解析：收益的期望为 512% -550% =0.476 0(万元)=4 760 元.201908答案：4 7606.甲乙二人独立解出某一道数学题的概率相同，
4、已知该题被甲或乙解出的概率为 0.36，则甲独立解出该题的概率是_；若 X 表示解出该题的人数，则 EX=_.答案：（1）解析：设甲、乙二人独立解出该题的概率为 x，则该题不能被甲或乙解出的概率为（1-x) 2,由题意可知 1-（1-x） 2=0.36,解方程得 x=0.2,或 x=1.8(舍）.（2）解出该题的人数 X 的分布列为X 0 1 2P 0.64 0.32 0.04EX=00.64+10.32+20.04=0.4.答案：0.2 0.47.在某地举办射击比赛中，规定每位射手射击 10 次，每次一发，记分的规则为：击中目标一次得 3 分；未击中目标得零分；并且凡参赛者一律另加 2 分.
5、已知射手小李击中目标的概率为 0.9，求小李在比赛中得分的数学期望.解析：设击中次数为 X，比赛得分为 Y，则 Y=3X+2.由题意知 XB（10，0.9）,EX=100.9=9,EY=E(3X+2)=3EX+2=29,小李在比赛中得分的数学期望为 29.8.英语考试有 100 道选择题，每题 4 个选项，选对得 1 分，否则得 0 分，学生甲会其中的20 道，学生乙会其中的 80 道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的期望.解析：设甲、乙不会题得分分别为随机变量 X 和 Y，由题意知 XB（80，0.25) ，YB（20，0.25）.故 EX=800.25=20,EY=200.25
6、=5,这样甲、乙的期望成绩分别为 40 分和85 分.点评：数学期望反映了随机变量取值的平均水平，这在一些实际问题中有重要的价值.综合运用9.（2005 重庆高考）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖.某顾客从此10 张券中任抽 2 张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值 X（元）的概率分布和期望 EX. 解法一：（1）P=1 =1 = .2106C453即该顾客中奖的概率为 .(2)X 的所有可能值为 0，10， 20，50，60（元）.且 P（X=0）
7、= = ,2106C3P(X=10)= = ,21063C5P(X=20)= = ,2103P(X=50)= = ,2106C5P(X=60)= = .2103故 X 有分布列：X 0 10 20 50 60P 3521515215从而期望 EX=0 +10 +20 +50 +60 =16.11解法二：（1）P=( .32540)(21064C(2)X 的分布列求法同解法一 .由于 10 张券总价值为 80 元，即每张的平均奖品价值为 8 元.从而抽 2 张的平均奖品价值EX=28=16(元 ).10.袋中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得 2 分，取到一个黑球得 1
8、 分.(1)今从袋中随机取 4 个球，求得分 X 的概率分布及期望；（2）今从袋中每次摸一个球，看清颜色后放回再摸下次，求连续 4 次的得分 Y 的期望.解：（1）直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的 4 个球颜色的分布情况.从袋中随机摸 4 个球的情况分：1 红 3 黑、2 红 2 黑、3 红 1 黑、4 红四种情况，分别得分为 5 分，6 分，7 分，8 分，故 X 的可能取值为 5，6，7，8，P（X=5）= ,3547CP(X=6)= ,18472P(X=7)= ,35471CP(X=8)= .1470故所求分布列为X 5 6 7 8P 3435183512351EX=5 +6
9、 +7 +8 = .35418527(2)设摸到红球的次数为 X，则 XB（4, ）,7EX=4 = ,416故 EY=E（2X）+E(4-X)1=2 +(4- )= .711.(2004 天津高考，理 18)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选 3 人中女生的人数.（1)求 的分布列；（2）求 的数学期望；（3）求“所选 3 人中女生人数 1”的概率.解析：（1）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，所选的 3 人中女生随机变量=0,1,2,其概率P（=k)= ,k=0,1,2,3642Ck故 的分布列为 0 1 2P 515351(
10、2)由（1）可得 的数学期望：E=0 +1 + =1.532(3)由（1）可得“所选 3 人中女生人数 1”的概率为 P(1)=P(=0)+P(=1)= + = .513412.(北京崇文 4 月考，16)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中的 6 道题，乙能答对其中的 8 道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试，至少答对 2 道题才算合格.（1）求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少？（2）求乙答对试题数 的概率分布与数学期望？解析：（1）设 A=甲考试合格，B=乙考试合格 ，P（A）= = = ,P(B)= = = .310642C233
11、10828C5614(2)可能取的值是 1，2，3， P（=1)= = ,P(=2)= = ,P(=3)= ,31082310287157308C 的概率分布是 1 2 3P 5307157E=1 +2 +3 = .153072913.A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是 A1，A 2，A 3，B 队队员是 B1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率A1 对 B1 32A2 对 B2 53A3 对 B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分.设 A 队、B 队最后所得总分分别
12、为 X、Y.（1）求 X、Y 的概率分布；（2）求 EX、EY.解：（1）X、Y 的可能取值分别为 3，2，1，0.P（X=3）= = ,35278P(X=2)= + + = ,578P(X=1)= + + = ,132P(X=0)= = ;352X 的概率分布是X 0 1 2 3P 5352758728根据题意知 X+Y=3，所以P（Y=0）=P （ X=3）= ,728P(Y=1)=P(X=2)= ,5P(Y=2)=P(X=1)= ,P(Y=3)=P(X=0)= .23Y 的概率分布是Y 0 1 2 3P 758752852253(2)EX=3 +2 +1 +0 = ,758231因为 X
13、+Y=3，所以 EY=3-EX= .13拓展探究14 （2005 浙江高考）袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是 ，从 B 中摸出一个红球的概率为 p.3（1）从 A 中有放回摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止.求恰好摸 5 次停止的概率； 记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为 X，求随机变量 X 的分布列及数学期望EX.（2）若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12，将 A、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 ,求 p 的值.2解：(1) ( )2( )2 = .4C318随机变量 X 的取值为 0，1 ，2，3.由 n
14、 次独立重复试验的概率公式Pn(k)= pk(1-p)n-k,得P（X=0）= C05(1- )5= .324P(X=1)= (1- )4= .18P（X=2）= 25( )2(1- 1)3= 0.P(X=3)=1 = 1.0387随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P 243243804380817X 的数学期望是EX= 0+ 1+ 2+ 3= .243817（2）设袋子 A 中有 m 个球，则袋子 B 中有 2m 个球.由 ,得 p= .51p30问题导入甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：射手甲：所得环数 X1 10 9 8概率 P 0.2 0.6 0.2射手乙：所得环数 X2 10 9 8概率 P 0.4 0.2 0.4谁的射击水平比较稳定？思路分析：E（X 1）=100.2+90.6+80.2=9,E(X2)=100.4+90.2+80.4=9.两人射击所中环数的期望值相等，怎样判断两人中谁的射击水平更稳定呢？这即是我们本节所要学习的方差问题.
