1、课堂导学三点剖析一、二项式定理的应用解决整除、余数有关问题【例 1】 91 92 除以 100 的余数是多少？ 解析:91 92=（100-9） 92=10092- 100919+ 1009092- 100991+992，前面各项均能192C2991C被 100 整除，只有末项 992 不能被 100 整除，于是求 992 除以 100 的余数.992=（10-1 ） 92=1092- 1091+ 1090-+ 102- 10+（-1） 9212C290991=1092- 1091+ 1090-+ 102-920+192C=（10 92- C91+ 1090-+ 102-1 000）+8119
2、90被 100 除的余数为 81，即 9192 除以 100 的余数为 81.二、二项式定理的应用近似计算问题【例 2】 一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率 P（单位：马力）和螺旋桨的直径 D（单位：米）的关系是 P=6D5,已知 D=3.11，求 P(精确到 100 马力)解析：D=3.11P=6(3.11)5=6(3+0.11)5=63 5+ 340.11+ 33(0.11)2+ (0.11)51C2C在精确到 100 马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计.P63 5+ 340.111=6（243+44.55）=1 725.31 700即所消耗的功率约为 1 700 马力
3、.温馨提示在用二项式定理求近似值时，要根据题目精确度的要求，合理选取二项展开式的某几项进行求值，特别当 h 很小而 n 又很大时， （1+h） n1+nh 是工业计算中经常使用的粗算公式.三、二项式定理的应用证明不等式【例 3】 证明：2(1+ )n 3(nN*)1证明：当 n=1 时， （1+1 ） 1=2,当 n1 时， （1+ ） n=1+ +1+1+ 2，21nC1nC2(1+ )n又 !1!1!)()1knknCkkn (1+ )n=1+ + + 11C2nnC1 12!32n=2+1- 31n2(1+ )n3温馨提示证明(1+ )n3 还可以有如下的证法：1(1+ )n )1(32
4、1!1!2 nn= 3.n31在证明过程中，要善于联想数列求和的各种方法.恰当地进行放缩.各个击破【类题演练 1】1+3+3 2+399 被 4 除所得的余数为_.解析：1+3+3 2+399= 3 100-1= (4-1) 100-1= 4100- 499+- 41+ -101C1090C0=8（ 498- 497+ 2-50）01C1098原式被 4 除所得的余数为 0.【变式提升 1】求证：3 2n+3-24n+37 能被 64 整除.证明：3 2n+3-24n+37=39n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3( 8n+1+ 8n+ )-24n+3701nC11C=3
5、64( 8n-1+ 8n-2+ )+24 -24n+401n1nn1=643( 8n-1+ 8n-2+ )+64 是 64 的倍数01nn故原式可被 64 整除.【类题演练 2】某公司的股票今天的指数是 2，以后每天的指数都比上一天的指数增长 0.2%，则 100 天后这家公司的股票指数约为_（精确到 0.001）.解析：100 天后指数为2(1+ )100=2（1+0.002 ） 10010=2(1+ 0.002+ 0.0022+ 0.0023+)C210310C2(1+0.2+0.019 8+0.001 293 6)=2.442答案：2.442【变式提升 2】一种 A 型进口汽车关税税率在
6、 2001 年是 100%，在 2006 年是 25%，2001年的价格是 57.6 万元（含 28.8 万元关税税款）.某人在 2001 年将 33 万元存入银行，若该银行扣利息税后的年利率是 1.8%（五年内不变） ，且每年按复利计算（每一年的利息计入第二年的本金） ，那么五年到期时这笔钱连本带息能否购买一辆 A 型进口汽车？解析：33 万元存入银行，到 2006 年得到的本息和为 33（1+0.018）5=33(1+ 0.018+ 0.0182+0.0185)33(1+0.090+0.003 24)=36.076 92.15C5到 2006 年 A 型进口汽车的价格为28.8+28.8
7、=36.4因为 36.076 9236，所以五年到期后这笔钱连本带息能够买一辆 A 型进口汽车.【类题演练 3】 当 nN*，求证：(1+ )n(1+ )n+11证明：因为(1+ )n=1+ + + ,11C2nnC其中 kkkn!= (1- )(1- )(1- )!2n (1- )(1- )(1- )1kn1k= k)(2!= knC1k)(1+ )n1+ + 121nC 1112 )()()( nnkknCC=(1+ )n【变式提升 3】已知 i,m,n 是正整数，且 1imn，（1）证明 ；imAin（2）证明（1+m ） n(1+n) m.证明：（1）略.（2）由二项式定理：（1+m） n= ，nnCC10（1+n） m= .mmn由（1）知 (1 imn).iAin又 ，!,!iACiiniimi ，ini .22iminii =1,10nC，m1 ，iinii00即（1+m） n (1+n) m.
