1、课堂探究探究一 组合的概念判断一个问题是排列问题还是组合问题，关键在于选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题【典型例题 1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数(1)10 人相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10 支球队以单循环进行比赛( 每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)从 10 个人中选出 3 个人作为代表去开会，有多少种选法？(4)从 10 个人中选出 3 个人担任不同学科的课代表，有多少种选法？思路分析：先分清是否与顺序有关，再确定是用排列数公式还是用组合数
2、公式计算解：(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为 C 45.210(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C 45.210(3)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为 C 120.310(4)是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A 720.310探究二 组合数公式的应用解决有关涉及组合数的具体数字计算问题，可用展开式形式进行计算而对于含有字母的组合数的式子进行变形或论证通常利用阶乘式，在应用组合数公式的过程中，应注意隐含条件( m，nN ，mn) 【
3、典型例题 2】 (1)计算 C C A _.410 37 3(2)解方程：3C 5A .x 7 3 2x 4思路分析：(1)应用组合数展开式计算(2)应用组合数阶乘式求解，并注意检验(1)解析：C C A C A 7652102100.410 37 3 410 37109874321答案：0(2)解：由排列数和组合数公式，原方程可化为3 5 ，(x 3)！(x 7)！ 4！ (x 4)！(x 6)！则 ，3(x 3)4！ 5x 6即为(x 3)(x6)40.所以 x29x220，解之，可得 x11 或 x2.经检验知 x11 是原方程的根，x2 是原方程的增根所以方程的根为 x11.探究三 组
4、合应用问题解决有关组合的实际问题，应首先确定是否是一个组合问题，再灵活选用直接法或间接法，结合两个计数原理进行计算【典型例题 3】 在 6 名内科医生和 4 名外科医生中，内科主任和外科主任各 1 名，现要组成 5 人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法(1)有 3 名内科医生和 2 名外科医生；(2)既有内科医生，又有外科医生；(3)至少有 1 名主任参加；(4)既有主任，又有外科医生思路分析：本题各个小题中被选出的元素均没有顺序，因而是组合问题解：(1)先选内科医生有 C 种选法；再选外科医生有 C 种选法故有选派方法36 24C C 120(种)36 24(2)既有内科医生又有
5、外科医生，正面思考应包括四种情况，共有选派方法C C C C C C C C 246( 种)16 4 26 34 36 24 46 14若用间接法，则有 C C 246( 种)510 56(3)包含两类情况：选 1 名主任有 C C 种；选 2 名主任有 C C 种故共有选派方法12 48 2 38C C C C 196(种)12 48 2 38若用间接法，则有 C C 196( 种)510 58(4)外科主任成为“热点”元素若选外科主任，则其余可任意选取，有 C 种选取方49法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余的四人不能全选内科医生，有(C C )48 45种故共有选派方法 C C C
6、 191(种) 49 48 45点评 有限制条件的组合问题，其限制条件主要表现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，一般遵循先特殊再一般、正难则反的策略对“至多” “至少” “最多”等问题要仔细审题，理解其含义，灵活选择合适方法(直接法、间接法)解决用间接法时要注意“至少” “最多” “至多”等词语的含义，找到其对立面；用直接法时常以某条件为主线进行分类，做到不重复、不遗漏探究四 易错辨析易错点：对组合数公式中隐含条件重视不够导致增解【典型例题 4】 已知 ，求 m.1Cm5 1Cm6 710Cm7错解：由已知得 ，m！ (5 m)！5！ m！ (6 m)！6！ 7(7 m)！ m！107！即 6010(6m)(7 m)(6 m)，整理得 m223m420，解得 m21 或 m2.错因分析：这是一个关于 m 的方程上面解法中，将原式转化为关于 m 的一元二次方程后，忽略了 m 的取值范围导致错误解这类题时，要将 C 中 m，n 的取值范围与方程mn的解综合考虑，切忌盲目求解正解：由题意可知 m 的取值范围是 m|0m 5，mN由已知得 ，m！ (5 m)！5！ m！ (6 m)！6！ 7(7 m)！ m！107！整理得 m223m420，解得 m21 或 m2.因为 mm|0 m5，mN，所以 m2.
