1、课后导练基础达标1.袋中有 7 个白球，3 个红球，现采取不放回方式取球，直到取到红球为止.以 表示取球次数，则 E=( )A. B. C. D.8110730761答案：A2.某随机变量 的概率分布为： 0 1 2 3P 0.1 a b 0.1且 E=1.5，则 a=_， b=_.答案：a=b=0.43.已知盒中有 10 个灯泡，其中 8 个正品，2 个次品.需要从中取出 2 个正品，每次取出 1 个，取出后不放回，直到取出 2 个正品为止，设 为取出的次数，求 的分布列及 E.解析：每次取 1 件产品，至少需 2 次，即 最小为 2，有 2 件次品，当前 2 次取得的都是次品时，=4，所以
2、 可以取 2，3，4.P（=2）= ；459708P（=3）= ；451871P（=4）=1- .2 的分布列如下： 2 3 4P 45845115E=2P（=2）+3P （=3） +4P（=4）= .94.某工厂对 2 月份的奖金发放作出了如下规定：在这四周时间里有 1 周完成生产任务，则得奖金 48 元；如果有 2 周完成生产任务，则可得奖金 80 元；如果有 3 周完成生产任务，则可得奖金 128 元；如果 4 周都完成了生产任务，则可得奖金 160 元；如果 4 周都未完成任务，则没有奖金，假设某工人每周完成任务与否是等可能的，求一工人在 2 月份所得奖金的期望.解析：设该工人在 2
3、月份所得奖金为 ，他每周完成任务的概率为 ，P（=0）1= （ ） 0（ ） 4= ，P （=48）= （ ） 1（ ） 3=04C11614C24P（=80）= （ ） 2（ ） 2=2483P（=128）= （ ） 3（ ）=34P（=160）= （ ） 4=4C216E=0 +48 +80 +128 +160 =84.164834165.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 道，乙能答对其中的 8 道，规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格.（1）求甲答对的试题数 的概率分布及数学期望.（2）求甲、乙两人至少
4、有一人考试合格的概率.解析：（1） 的分布列如下： 0 1 2 3P 3103161甲答对试题数 的数学期望 E=0 +1 +2 +3 = .12659（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A，B，则P（A）= ，32106310426CP（B） = ，54310828甲、乙两人考试均不合格的概率为：P（ ）=P（ ）P（ ）=（1- ） （1- )=AB32145甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P（ ）=1- =451综合运用6.某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件 E 发生，该公司要赔偿 a 元，设在一年内 E 发生的概率为 P，为使公司收益的期望值等于 a 的百分
5、之十，公司应要求顾客交多少保险金？解析：设保险公司要求赔偿顾客交 x 元保险金，若以 表示公司每年的收益额，则 的分布列为： x x-aP 1-p p公司每年收益 的期望值为E=x（1-p）+（x-a ）p=x-ap 要使公司收益的期望值等于 a 的百分之十，只需 E=0.1a，即x-ap=0.1a，x= （0.1+p ）a，应交的保险金为（0.1+p ）a.7.一批商品共 100 件，商家称其中只有 10 件是次品.为检验其质量的真实情况，现从中随机地抽出 5 件.（1）求抽出的 5 件商品中次品数的分布列与期望值；（2）如果抽出的 5 件商品中，有 3 件是次品，你如何评价该批商品的质量.
6、解析：（1）按商家所说，抽出的 5 件商品中的次品数是随机变量 ，则 可以取 0 到 5 的6 个整数.如果抽出的 5 件商品中恰好有 k（k=0，1，2，3，4，5）件次品，则其相应的概率为P（=k）= .5109Ck按这个计算公式，并精确到 0.001，则可求得 的分布列是 0 1 2 3 4 5P 0.584 0.340 0.070 0.006 0.000 0.000次品数 的期望值是E=00.584+10.340+20.070+30.006+40.000+50.000=0.498.这表明，通常情况下，抽出的 5 件商品中，只能约有半个次品.（2）由上面的分布列可知，P（=3）=0.00
7、6. 可见，所抽取的 5 件商品中有 3 件是次品的可能性极小，只有 0.6%.如此小的概率，在一般情况下是不可能发生的.因此，商家“100 件商品中只有 10 件次品”的说法是不可信的.8.有一个赌场，3 个骰子设赌，任何人投掷一次若出现 3 个六点，可赢 100 元，否则输掉 1元.问这个赌规是否公平？为什么？在上述赌规下，赌场出现了一件意外的事，有人掷出了两个六点，另一颗骰子却被突如其来的不速之客猫撞飞了，于是赌场出现了激烈的争执，赌主要求重掷，赌客当然不干，看客中说赢的，输的，平的都有，请你用概率理论作分析，提出一种对赌注（1+100=101 元）作分配的公平方案 .解析：该赌规不公平
8、，因为同时掷出 3 个六点的概率是（ ） 3= ，若赌规规定为6121215 就公平了.（即掷不出 3 个六点，输 1 元，掷出 3 个六点，赢 215 元）.赌事因无法预见的原因而夭折，论输赢都无依据；已出现两个六点，胜率已由 提升到16，说平了也不对，比较公平的方案是，将赌资（100+1=101 元）按 51 分配，赌主留下6，赌客拿走 .5619.一种电路控制在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把二件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出测试.（1）求前两次取出的都是二等品的概率；（2）求第二次取出的是二等品的概率；（3）用随机变量
9、表示第二个二等品被取出时共取出的件数，求 的分布列及数学期望.解析：（1）四件产品逐一取出排成一列共有 种方法，前两次取出的产品都是二等品的14A共有 种方法，2C1前两次取出的产品都是二等品的概率为 .61421AC（2）四件产品逐一取出排成一列共有 种方法，第二次取出的产品是二等品的共有 14 12C种方法，第二次取出的产品是二等品的概率为 .3A 214312（3） 的分布列为 2 3 4P 616263E=2 +3 +4 = .61230拓展探究10.在一块倾斜放置的矩形木板上钉着一个形如“等腰三角形”的九行铁订，钉子之间留有间隙作为通道，自上而下第 1 行 2 个铁钉之间有 1 个空
10、隙，第 2 行 3 个铁钉之间有 2 个空隙，第 9 行 10 个铁钉之间有 9 个空隙（如图所示） ，一个玻璃球通过第 1 行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第 2 行居中的铁钉后以相等的概率滚入第 2 行的左空隙或者右空隙，以后玻璃球按类似方式继续往下滚动，落入第 9 行的某一个空隙内，最后掉入木板下方的相应槽内，玻璃球落入不同的球槽得到不同的分数 在图中给出，求 E（结果保留两位有效数字）.解析：本题解决的关键是读懂题意，看清图形从第 1 行开始，玻璃球从一个空隙往下滚，玻璃球碰到此下方的一个铁钉后以 的概率落入铁钉左边空隙.同样以 的概率落入铁钉右2121边空隙，玻璃球继续往下滚时，总有落入
11、铁钉左边和右边空隙两种结果，直到最后掉入某一个球槽内，一共进行了 8 次独立重复试验，若设 8 次独立重复试验中落入铁钉左边空隙的次数为 ，则 B（8， ）.P（ =10）=P（=0 或 =8） =P（=0 ）+P （=8 ）= （ ） 0（ ） 8+ （ ）08C21C218（ ） 0= ，217P（=8）=P （ =1 或 =7）=P（=1）+P（=7 ）= （ ） 1（ ） 7+ （ ） 7（ ）1881= ，7P（=6）=P （ =2 或 =6）=P（=2）+P（=6 ）= （ ） 2（ ） 6+ （ ） 6（ ）28C8C212= ，78P（=4）=P （ =3 或 =5）=P（=3
12、）+P（=5)=C 38（ ） 3（ )5+ （ ） 5（ ） 3=2187256P（=2）=P （ =4）= （ ） 4（ ） 4= ，48C217235E=10 +8 +6 +4 +2 4.19.7176备选习题11.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得-100 分，假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（1）求这名同学回答这三个问题的总得分 的分布列和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即 0）的概率.解析：（1） 的可能值为：-300，-100，100，300.P（=-300 ）=
13、0.2 3=0.008P（=-100 ）=30.2 20.8=0.096P（=100）=30.20.8 2=0.384P（=300）=0.8 3=0.512所以 的分布列为： -300 -100 100 300P 0.008 0.096 0.384 0.512于是：E=（-300）0.008+（-100 ）0.096+1000.384+3000.512=180（2）这名同学总得分不为负分的概率为P（0）=0.384+0.512=0.896.12.在一个人数很多的单位中普查某种疾病，n 个人去验血，可以用两种方案进行：（1）每个人的血分别化验，这需要 n 次；（2）按 k 个人一组进行分组，把
14、k 个人的血混在一起化验，如果结果是阴性的，那么这 k个人只作一次化验就够了，如果结果是阳性的，那么就必须对这 k 个人逐一化验，即对这k 个人进行 k+1 次化验，假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是 p，且这些人的化验是相互独立的，求按第二种方案这 n 个人平均需要化验的次数.点拔：第二种方案中 k 个人一组化验，呈阴性和呈阳性时每个人的血化验的次数为随机变量 的取值，所以第二种方案这 n 个人平均化验的次数即为 nE.解析：按第二种方案，k 个人一组化验，若混合呈阴性，则一个人的血化验 次，若混合k1呈阳性，则一个人的血化验 次.k1又 k 个人的混合血化验是阴性的概率是（1-p）
15、 k，呈阳性的概率是 1-（1-p） k.于是有分布列 1P （1-p） k 1-（1-p） k平均化验次数即 的数学期望.E= （1-p ） k+ 1-（1-p） k=1+ -（1-p ） k.111按第二种方案这 n 个人平均需要化验的次数为 n1+ -（1-p） k.13.某先生居住在城镇的 A 处，准备开车到单位 B 处上班，若该地路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如ACD 算作两个路段：路段 AC 发生堵车事件的概率为 ，路段 CD 发生堵车事件的10概率为 ）.15（1）请你为其选择一条由 A 到 B 的路线，使得途中发
16、生堵车事件的概率最小；（2）若记路线 ACFB 中遇到堵车次数为随机变量 ，求 的数学期望.解析：（1）记路段 MN 不发生堵车事件为 ，因为各路段发生堵车事件都是独立的，MN且在同一路段发生堵车事件最多只有一次.所以路线 ACDB 中遇到堵车的概率为 P1 为 1-P（ ）=1-DBCAP（ ）P （ ）P（ ）=1-1-p （AC） 1-P（CD） 1-P（DB） =1-ACDB；103654109同理路线 ACFB 中遇到堵车的概率 P2=1-P（ ）= （小于 ） ；FBCA802391路线 AEFB 中遇到堵车的概率为 P3=1-P（ ）= （大于 ） ；E显然要使得由 A 到 B
17、的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择，因此选择路线 ACFB 可使得途中堵车事件的概率最小 .（2）路线 ACFB 中遇到堵车次数 可取值为 0，1，2，3，P （=0）=P（）= ；FC80561P（=1）=P （ ）+P（ ）+P （ ）=BAFBCAFBCA；2406371912391207P（=2）=P （ ACCF ）+P （AC FB）+P（ CFFB）=F;073P（=3）=P （ ACCFFB）= ,240310E=0 .312407685答：路线 ACFB 中遇到堵车次数的数学期望为 .14.据统计，一年中一个家庭万元以上财产被窃的概率为 0.01.保
18、险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者须交保险费 100 元，若在一年以内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿 a 元（a100）.问 a 如何确定，可使保险公司期望获利？解析：设保险公司的获利为 ， 所有可能的取值为 100、100-a，则 的分布列为 100 100-aP 0.99 0.01E=1000.99+(100-a)0.01=100-0.01a.要使保险公司的获利，须有100-0.01a0，即 a10 000.又因为 a100，当 100a10 000 时保险公司可期望获利.15.在有奖摸彩中，一期（发行 10 000 张）有 200 个奖品是 5 元的，20 个奖品是 25 元的，5 个奖品是 100 元的，在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？解析：设一张彩票中奖额为随机变量 ，显然 所有可能的取值为 0、5、25、100，则 的分布列为 0 5 25 100P 439101501201E=0 +5 +25 +100 =0.2.40391502答：一张彩票的合理价格是 0.2 元.
