1、13.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标 知识与技能1利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2能运用二项式系数的性质解决一些简单问题过程与方法1熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2熟练运用赋值法求一些代数式的值情感、态度与价值观1培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力2通过学习“杨辉三角” 的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣重点难点 教学重点：了解“杨辉三角” 的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法教学难点：二项式系数性质的得
2、到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题教 学 过 程Error!前面我们学习了二项式定理，请回顾：(1)(ab) n_(nN *)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(ab) n 的_ ，其中 C (r0,1,2，n)叫做rn_，通项是指展开式的第_项，展开式共有_项(2)什么是二项式系数？什么是系数？活动设计：学生先独立回忆，然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书活动结果：(答案展示)(1)(ab) nC anC an1 b C an2 b2C anr brC bn(nN)、展开式、二0n 1n 2n rn n项式系数、r1、n1.(2) 二项式系数是 C ，
3、系数是变量前的常数rn设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容提出问题：计算(ab) n 展开式的二项式系数并填入下表n 展开式的二项式系数1234567活动设计：通过学案或者投影展示表格，学生填空，学生之间可以交流，教师指导活动成果：n 展开式的二项式系数1 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 1设计意图：当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数通过计算填表，让学生发现其中的规律Error!提出问题：当表示形式为“三角形”
4、时，该表格有什么规律？活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究活动成果：(这个表在我国南宋数学家杨辉在 1261 年所著的详解九章算法一书中就出现了，称为杨辉三角但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表称为帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的)设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律Error!提出问题 1：观察杨辉三角的每一行，正数第 1 个
5、数与倒数第 1 个数，正数第 2 个数与倒数第 2 个数，正数第 3 个数与倒数第 3 个数，它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗？活动设计：通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论，踊跃发言，勇于探索活动成果：正数第 1 个数与倒数第 1 个数相等，正数第 2 个数与倒数第 2 个数相等，正数第 3 个数与倒数第 3 个数相等，(板书)二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等，即 C Cmn.n mn设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始通过杨辉三角得到“对称性”，进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组
6、合数的一个性质提出问题 2：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论活动成果：表中任一不为 1 的数都等于它肩上的两个数的和，即(板书)(2)C C C .rn 1 r 1n rn设计意图：通过新发现(杨辉三角 )，重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握，加深学生对二项式系数性质的理解，能够在最大程度上提升学生的认知水平，这条性质实际上是组合数的另外一个性质提出问题 3：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况，有单调性吗？有最值吗？活动设计：学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，让他们积极参与教师始
7、终是引导者，学生始终是课堂的主体引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系，如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等先由学生独立完成，然后组织全班讨论，学生之间可以相互求助活动成果：因为C knn(n 1)(n 2)(n k 1)(k 1)！ kC ，k 1nn k 1k所以 C 相对于 C 的增减情况由 决定由kn k 1nn k 1k1 kn k 1k n 12可知，当 k 时，二项式系数是逐渐增大的由对称性知它的后半部分是逐渐减小n 12的，且在中间取得最大值当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即 C n 最大；当 n 是n2奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即 C
8、nC n，即 C n，C nn 12 n 12 n 12 n 12最大(板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即 C n 最大；当 n 是奇数时，中间的两项相n2等，且同时取得最大值，即 C nC n 最大n 12 n 12设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想难点是需要根据n 的奇偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是 k
9、 ，从而学n2生可以比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到提出问题 4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已活动成果：已知(1x) nC C xC x2 C xrC xn，0n 1n 2n rn n令 x1，则2nC C C C C .0n 1n 2n rn n即二项式系数之和等于 2n.我们把这样的方法称为赋值法，赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法(板书)(4)各二项式系数的和：C C C C C 2 n.0n 1n
10、2n rn n设计意图：本环节的设置与本节的大环境一致，都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用实际上这条性质，我们在组合数或者集合的子集中遇到过，教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握，让学生体会到数学知识的前后联系，能够最大限度地达到教学目标Error!例 1 下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上(1)(ab) 20 第_项的二项式系数最大，是_；(2)(ab) 19 第_项的二项式系数最大，是_思路分析：根据二项式系数的性质(3)即可解决，但要分清 n
11、 的奇偶性解：(1)若 n20，则当 r10 时，二项式系数最大，所以第 11 项的二项式系数最大，是 C .102(2)若 n19，则当 r9 或 10 时，二项式系数最大，所以第 10 或 11 项的二项式系数最大，是 C C .91 109点评：通过 n 的奇偶性的不同，考查了二项式系数的性质(3)，但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值【巩固练习】(12x) n 的展开式中第 5 项与第 8 项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项解：由题意 C C ，所以 n4711，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两4n 7n项，即第 6 项与第 7 项例 2 证明：
12、在(ab) n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和思路分析：奇数项的二项式系数的和为 C C C ，偶数项的二项式系数的和0n 2n 4n为 C C C ，由于(ab)1n 3n 5nnC anC an1 bC an2 b2C anr brC bn(nN)中的 a，b 可以取任意实数，0n 1n 2n rn n因此我们可以通过对 a，b 适当赋值来得到上述两个系数和这一点可以从性质(4)的推导来获得证明：在展开式(ab) nC anC an1 bC an2 b2C anr brC bn(nN)0n 1n 2n rn n中，令 a1， b1，则得(1 1) nC C C
13、 C (1) nC ，即0n 1n 2n 3n n0(C C )(C C )，所以 C C C C ，即在(ab) n 的展开式0n 2n 1n 3n 0n 2n 1n 3n中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题，都有可能通过赋值法获得解决实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令f(x)C C xC x2C xrC xn，0n 1n 2n rn n由 f(1) 0，即可很容易地得到要证明的结果【巩固练习】C C C C _17 27 37 7解：因为 C C C C C 2 7
14、128，所以07 17 27 37 7C C C C 1281127.17 27 37 7【变练演编】1当 C C C C C 2 048 时，n_.0n 1n 2n rn n2当 C C C 2 048 时，n_.0n 2n 4n3当 C C 时，其中 nx，ny，x，y，nN *，则 x， y 所满足的关系式是xn yn_4当(12x) n 的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大时， n_.请将你所能想到的所有答案都一一列举出来1解：由 2n2 0482 11，得 n11.2解：由 2n1 2 0482 11，得 n12.3解：由题意 xy 或 xyn.4解：由性质(3)知， 17，所以
15、 n12.n2设计意图：本环节的设计源于一种非常好的教学方法：变练演编这种开放性的设计，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维一堂好的数学课必须让学生创新，使得学生有所收获通过这种方式的训练，让学生去创造题目，解决问题，增加了中学生学习数学的兴趣，进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质，能力得到了提高【达标检测】1展开式 12C 4C 2 10C _.10 210 102(x y )13 展开式的中间项是_y12 x3已知(x 3 )n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求展开式中不含 x 的1x2项1解：在(1x) 10 C xr 中，10r 0 r10令 x2，得 12
16、C 4C 2 10C (12) 103 1059 049.10 210 102解：中间项是第 7、8 项，即 x10y 、 y10x .42916 192 42932 1923解：由题意 n10，展开式的通项为 C x305r ，所以当 r6 时，不含 x 的项是r10210.Error!活动设计：给学生 2 分钟的时间，让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能，教师尽量不要代劳，能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”活动成果：(板书)1知识收获：杨辉三角的发现，二项式系数的四个主要性质2方法收获：如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用3思维收获：增强爱国主义情感，使学生对我们
17、国家古代的伟大数学成就有所了解，进一步增强其民族自豪感；通过杨辉三角的发现，体会推理猜想的重要性，体会函数思想、化归思想设计意图：学生能自己表达的就让他自己表达，学生能自己解决的就让他自己解决，学生能自己总结的就让他自己总结，通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法，不但可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！这样不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位Error!【基础练习】1C C C C C _.10 310 510 710 9102C
18、 C C C C _.1 211 311 411 5113若(a b) n 的展开式中，各项的二项式系数和为 8 192，则 n 的值为( )A16 B15 C14 D134一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有 20 个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( )A20 B2 19C2 20 D2 201【答案或解答】15122利用对称性，原式为 11 02321123D 4.D【拓展练习】5若( )n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为 1 024，求它的中间项31x 51x26已知(2xx lgx)8 的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 1
19、 120，求 x 的值答案：5.解：系数之和即为二项式系数之和，由 2n1 1 024，得 n11，所以展开式的中间项为第 6、7 项，分别为 462x4 、462x .61156解：依题意 T5C (2x)4(xlgx)41 120，48整理得 x4(1lgx) 1，两边取对数，得lg2xlgx0，解得 lgx0 或 lgx1.x 1 或 x .110设 计 说 明二项式系数性质是二项式定理的重要内容之一，教材从传授知识的角度出发，有它的合理性，但教学过程中不能照本宣科平铺直叙经过认真探索，发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力同时还能发挥教材中史情内容的
20、教育功能，唤起民族的自尊心、自信心和爱国主义热情，并转化为学习数学的动力而发奋学习这样设计这堂课，主要有以下几个原因：第一，二项式定理这部分内容比较枯燥，需要记忆的知识点也比较多，要求教师不断地挖掘规律，简化学生的记忆负担即使如此，学生的学习仍处于被动状态，所以这节课，要想充分发挥学生的积极性，化被动为主动，因此引入了杨辉三角，利用图表的直观性很容易发现规律，这个规律是由学生自己发现的，当然也就容易记忆第二，以往我们处理二项式系数的性质这一节时，总是将性质用定论的形式直接呈现在学生面前，然后自己再说出证明方法，紧接着就是上例题做练习这样，似乎是开门见山，直截了当，节约时间，但忽视了很重要的一点
21、数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“ 思维过程 ”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养长此以往，学生的数学素质很难得到提高第三，教与学是一对矛盾，它是一个已知教未知和未知求新知的过程，两者对立统一、辩证发展现代教育学强调：“在教学过程中，应自始至终地确立学生的主体地位及教师在教学中的主导作用 ”那么在“以教师为主导，学生为主体”的教学思想指导下，如何来发挥“主导与主体”作用呢？我们认为一定要突出“ 引”和“放”，即在教师正确引导下，放开让学生积极参与教学，而不是简单地接收、模仿这里关键在于教师设法创造良
22、好的教学环境，思路一起探索，疑难一同解决，规律共同发现，结论一起获得，错误一起纠正，师生密切配合才能提高学生的学习效果，促进其个性健康发展第四，要充分发挥“以教师为主导、学生为主体”的作用，首先要深入研究教材，结合教材具体内容及学生实际情况和需求(学生感兴趣) ，创设适合学生思维水平的教学环境，贯彻启发性原则，激发学习动机，引起学习兴趣，使学习成为自觉需求才能吸引学生积极参与，突出“引 ”与“ 放”本课如果照本宣科则平淡无奇，对学生思维能力的培养毫无作用上述做法使大多数学生在教师引导下“跳一跳，能摸到”，促进学生思维能力的提高第五，引导学生积极参与的内容要防止两种情形一是过易，不能充分发挥学生
23、的主体作用二是过难，学生摸不着头绪就没兴趣参与教师要在充分了解学生的原有认知结构的前提下，确立一个相对较低的起点，难度高的还要适当铺设台阶，多层次展开问题，使每个层次的学生在我们引导下都能积极参与，做到一分耕耘一分收获第六，要重视并加强对学生数学思想方法的培养，善于揭示教材的内隐性像杨辉三角教学中，它的德育、美育功能具有外露性，智力功能比较内隐，如果不是精心研究，并去揭示三角数阵的结构，以及它与二项式系数性质相联系的规律，不去展开观察、分析、类比和归纳等思维过程，就不能够发展学生的智能，其他功能也会受影响只有当学生从被动上升到主动去应用这些数学思想和方法，才能形成能力，培养学生只学会还不够，教
24、师培养学生的目标是使之会学，那将是受益终身的财富备 课 资 料伟大的数学家杨辉杨辉(约 1238 年约 1298 年 )，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，是中国南宋时的数学家杨辉生于宋理宗嘉熙二年(1238 年) ，卒于元成宗大德二年 (1298 年)，是中国南宋末年的数学家、数学教育家，大约在 13 世纪中叶活动于苏杭一带杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有详解九章算法十二卷(1261 年) 、 日用算法二卷(1262 年) 、 乘除通变本末三卷(1274 年) 、 田亩比类乘除算法二卷(1275 年)、 续古摘奇算法二卷(1275 年)在他的著作中收录了不少现已失传的古代数
25、学著作中的算题和算法杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了构成规律的数学家除此成就之外，他还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”大家认识杨辉的名字，基本上都是从“杨辉三角形”上来的其实，所谓的“杨辉三角形”，并不是杨辉首创，而是北宋的贾宪在他的著作黄帝九章算经细草中提出的此书成于公元 1050 年左右，其中的“开方做法本源图”就是杨辉三角形的原型，所以也被称为“贾宪三角形”这个三角形的每一行，对应的是二项式(ab) n 展开式的系数杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌诀，如“九归”口诀杨辉创“纵横图”之名，在续古摘奇算法
26、中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法垛积术，是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究杨辉的“纂类”中，是将九章算术246 个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类杨辉是一位杰出的数学教育家，重视数学的普及，在算法通变本末中，杨辉为初学者制订的“ 习算纲目” 是中国数学教育史上的一项重要文献另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格这些资料亦对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助在乘除通变算宝中，杨辉创立了“九归”口诀，介绍了筹算乘除的各种速算法等等在续古摘奇算法中，杨辉列出了各式各样的纵横
27、图( 幻方) ，它是宋代研究幻方和幻圆的最重要的著述杨辉对中国古代的幻方，不仅有深刻的研究，而且还创造了一个名为攒九图的四阶同心幻圆和多个连环幻圆杨辉在数学上的另一个重要的贡献是提出了幻方的构造方法所谓的幻方，就是指在 NN 的格子中填入 1 到 N 平方的自然数，使每一行每一列的和都相等三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫图或者洛书，写成数字的形式，就是：四 九 二三 五 七八 一 六还有一个口诀：“二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央 ”传说是黄帝时代，洛水中浮起一只大龟，背上刻着这样的图案洛书配上八卦，用在风水学上，被称为洛书轨迹，用在奇门遁甲中，则形成了“休死伤杜开惊生景”八门
28、诸葛亮最擅长的八阵图就是源于此杨辉收集整理了很多不同阶的幻方，称其为“纵横图”，并写到了自己的著作续古摘奇算法一书中，可以说是世界上第一个给出如此多的幻方并讨论了它们的组成规律的数学家幻方的构造可以按照一个固定的规律，按奇数阶和偶数阶的不同，构造的方法也不一样奇数阶的构造很容易首先从最后一行的中间开始填起，从一开始递增，向斜下方延伸如果超出了边界，就从相对边的位置继续如果遇上已经填过的格子，就从填过的格子上方的格子继续大家可以对照三阶幻方来看出这个规律对于偶数阶幻方，如果是四的倍数，很容易，只要首先把从 1 到 N 平方的数字先按照行的方向填好，变成下面的样子：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16然后除了对角线上面的数字不动以外，其他的数字跟中心对称位置的数字对调：1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16这样就构造好了对于阶数是 4m2 的幻方，构造的方法比较复杂不过步骤是先构造好中心的幻方，然后在周围加上一圈数字就可以了由于杨辉在数学上的杰出成就，他和秦九韶，李冶，朱世杰一起被后人并称为“宋元数学四大家”(设计者：毕晓岩)
