1、24 正态分布整 体 设 计教材分析 正态分布是高中数学新增内容之一,是统计中的重要内容一方面,它是在学生学习了总体分布后给出的自然界最常见的一种分布,它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据,因此它起着承上启下的桥梁作用;另一方面,正态分布具有许多良好的性质,许多分布都可以用正态分布来近似描述因此在理论研究中,正态分布占有很重要的地位课时分配 1 课时教学目标 知识与技能掌握正态分布在实际生活中的意义和作用结合正态曲线,加深对正态密度函数的理解归纳正态曲线的性质过程与方法能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律,引导学生通过观察并探究规律,提高分析问题,解决问题的能力;培养学
2、生数形结合,函数与方程等数学思想方法情感、态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐,形成积极的情感,培养学生的进取意识和科学精神重点难点 教学重点:正态曲线的性质、标准正态曲线 N(0,1)教学难点:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质教 学 过 程Error!1回顾曲边梯形的面积 S f(x)dx 的意义;ba2复习频率分布直方图,频率分布折线图的作法、意义:在频率分布直方图中,区间(a ,b)对应的图形的面积表示_在频率分布直方图中,所有小矩形的面积的和为_设计意图:用学过的知识来探究新问题,驱动学生思维的自觉性和主动性,让学生亲身感受知识的发生过程,既反映了数学的
3、发展规律,又符合学生的思维特征和认知规律Error!提出问题:同学们知道高尔顿板试验吗?课本的内容表述了高尔顿板试验,我们将通过小球落入各个小槽中的频率分布情况来认识正态分布活动设计:教师板书课题,学生阅读课本中关于高尔顿板的内容提出问题:(1)运用多媒体画出频率分布直方图(2)当 n 由 1 000 增至 2 000 时,观察频率分布直方图的变化(3)请问当样本容量 n 无限增大时,频率分布直方图变化的情况如何?(频率分布就会无限接近一条光滑曲线总体密度曲线)(4)样本容量越大,总体估计就越精确活动结果:总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设
4、想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线它反映了总体在各个范围内取值的概率根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b) 内取值的概率等于总体密度曲线,直线 xa,xb 及 x 轴所围图形的面积观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:, (x) e ,x (,) 12 (x )222式中的实数 、(0)是参数,分别表示总体的平均数与标准差, , (x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线1一般地,如果对于任何实数 a,b(a0,P( a4
5、)1P(4)0.16.答案:A例 2 设随机变量 服从标准正态分布 N(0,1),已知 (1.96)0.025,则 P(|1.96)P(1.96)(1.96)0.025,P(|0)和 N(2, )(20)的密度函数图象如图所示,则21 2有( )A 12C 12, 12, 12解析:正态分布函数的图象关于 x 对称,的大小表示变量的集中程度, 越大,数据分布越分散,曲线越“矮胖”; 越小,数据分布越集中,曲线越“瘦高”答案:A3以 (x)表示标准正态总体在区间(,x) 内取值的概率,若随机变量 服从正态分布 N(, 2),则概率 P(|)等于( )A( )() B(1)(1)C( ) D2()
6、1 解析:考查 N(, 2)与 N(0,1)的关系:若 N(, 2),则 P(|)P()( )( )(1)(1)答案为 B. 答案:B【达标检测】 1若随机变量 XN(, 2),a 为一个实数,证明 P(Xa) 0.证明:对于任意实数 a 和自然数 n 有a XaXaa Xa1n 1n因为事件Xa与事件a Xa互斥,由概率加法公式得1nP(a Xa) P(Xa) P(a Xa)P(Xa)1n 1n因为 XN(, 2),所以 0P(Xa)P(a Xa) a , (x)dx1n a 1n a dx ,n1,2,故 P(Xa) 0.12a 1n 1n2点评:本题涉及知识范围较广,是一道综合性较强的题
7、目2若 XN(5,1),求 P(6X7)解:由 XN(5,1)知, 5,1.因为正态密度曲线关于 x5 对称,所以 P(5X7) P(3X7) 0.954 40.477 2;12 12P(5X6) P(4X6) 0.682 60.341 3;12 12P(6X7)P(5X7)P(5X6)0.135 9.3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为 ,求总体落12入区间( 1.2,0.2)之间的概率解:正态分布的概率密度函数是 f(x) e ,x(,),它是偶函数,12 (x )22 2说明 0,f(x)的最大值为 f() ,所以 1,这个正态分布就是标准正态分布12P(1.2x
8、0.2)(0.2)( 1.2)(0.2)1(1.2) (0.2)(1.2)1.Error!1正态分布2正态分布密度曲线及其特点3标准正态曲线4了解 3原则Error!【基础练习】1关于正态曲线性质的叙述:(1)曲线关于直线 x 对称,整条曲线在 x 轴的上方;(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数;(3)曲线在 x 处处于最高点,由这一点向左右两侧延伸时,曲线逐渐降低;(4)曲线的对称位置由 确定,曲线的形状由 确定, 越大,曲线越 “矮胖”,反之,曲线越“瘦高”上述叙述中,正确的有_答案:(1)(3)(4)2设某长度变量 XN(1,1),则下列结论正确的是( )AE(X) D(X) B
9、D(X)D(X) D(X)CE(X) DE(X)D(X)D(X)答案:A3把一个正态曲线 a 沿着横轴方向向右移动 2 个单位,得到新的一条曲线 b.下列说法中不正确的是( )A曲线 b 仍然是正态曲线B曲线 a 和曲线 b 的最高点的纵坐标相等C以曲线 b 为概率密度曲线的总体的均值比以曲线 a 为概率密度曲线的总体的均值大 2D以曲线 b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 a 为概率密度曲线的总体的方差大 2答案:D【拓展练习】1设 XN(0,1)P(X0)P(0X);P(X0)0.5;已知 P(X1)0.682 6,则P(X 1)0.158 7;若 P(X2) 0.954 4,则 P(
10、X2)0.977 2;若 P(X3)0.997 4,则 P(X3)0.998 7;其中正确的有( )A2 个 B3 个 C4 个 D5 个答案:D2已知 XN(0,1),则 X 在区间(,2)内取值的概率等于( )A0.022 8 B0.045 6 C0.977 2 D0.954 4答案:A3设随机变量 N(, 2),且 P(C)P(C)p,那么 p 的值为( )A0 B.12C1 D不确定,与 有关答案:A4已知从某批材料中任取一件时,取得的这件材料的强度 N(200,18),则取得的这件材料的强度不低于 180 的概率为( )A0.997 3 B0.866 5 C0.841 3 D0.81
11、5 9答案:A设 计 说 明本节课的教学设计力求体现教师主导,学生主体的原则,体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想,突出以下几点:1注重目标控制,面向全体学生,启发式教学2学生通过自主探究参与知识的形成过程,让学生真正地学会学习,也就是让学生主动建构式的学习,真正掌握学习方法备 课 资 料备选例题:1若 XN(, 2),问 X 位于区域(,)内的概率是多少?解:P(X ) P(X) 0.682 60.341 3.12 122某年级的一次信息技术测验成绩近似地服从正态分布 N(70,102),如果规定低于 60分为不及格,求:(1)成绩不及格的人数占多少?(2)成绩在 8090 内的学生占多少?解:(1)设学生的得分情况为随机变量 X,XN(70,10 2),其中 70, 10,在 60 到 80 之间的学生占的比例为 P(7010X7010)0.68368.3%,所以不及格的学生占的比例为 0.5(10.683)0.15915.9%;(2)成绩在 80 到 90 之间的学生占的比例为05P(70210X70 210) P(7010X7010)0.5(0.9540.683)0.13613.6%.(设计者:刘鹏)