1、13 二项式定理整 体 设 计教材分析 二项式定理是多项式运算的推广在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示的机会将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布做准备另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的性质有很大好处总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，
2、其基本思想是“先猜后证”与以往教科书比较，猜想不是通过对 n 取 1、2、3、4 的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(ab) 2 展开式的项的特征进行分析这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也是为证明猜想提供了基本思路课时分配 3 课时13.1 二项式定理教学目标 知识与技能1能用计数原理证明二项式定理；2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题过程与方法1运用归纳的方法，经历多项式的展开由 2 到 n 的过程；2引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理情感、态度与价值观1培养学生的归纳思想、化归思想，培养探
3、究、研讨、综合自学应用能力；2培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力重点难点 教学重点：用计数原理分析(ab) 2 的展开式，得到二项式定理教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律教 学 过 程Error!我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1)两个计数原理的内容是什么？(2)排列的定义与排列数公式是什么？(3)组合的定义与组合数公式是什么？活动设计：学生先独立回忆，
4、必要时可以看书，也可以求助同学活动结果：(板书)(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法(2)一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 A n(n1)(n2)(n m1) .mnn！(n m)！(3)一般地，从 n 个不同元素中取出
5、m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 C .mnn(n 1)(n 2)(n m 1)m！ n！m！ (n m)！设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础提出问题：如何利用两个计数原理得到(ab) 1，(ab) 2， (ab) 3 的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：(1)用乘法法则展开；(2) 合并同类项学生先独立思考，允许小组合作活动成果：(ab) 1ab(ab) 2a 22abb 2(ab) 3(a b) 2(ab)a 3 3a2b3ab 2b 3设
6、计意图：引导学生将(ab) 2 与(ab) 3 的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数Error!(ab) 4(a b)(ab)(a b)(a b) 的展开式各项都是 4 次式，即展开式的各项应该具有如下形式：a 4， a3b，a 2b2，ab 3，b 4.提出问题 1：(1)以 a2b2 项为例，有几种情况相乘均可得到 a2b2 项？这里的字母 a，b 各来自哪个括号？(2)既然以上字母 a，b 分别来自 4 个不同的括号，a 2b2 项的系数你能用组合数来表示吗？(3) 你能将问
7、题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？活动设计：学生自由发言活动成果：有 4 个括号，每个括号中有两个字母，一个是 a、一个是 b.每个括号只能取一个字母，任取两个 a、两个 b，然后相乘设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法提出问题 2：请用类比的方法，求出二项展开式中的其他各项系数，并将式子：(ab) 4(a b)(ab)(a b)(a b) ( )a 4( )a 3b( )a 2b2( )ab 3( )b 4括号中的系数全部用组合数的形式进行填写活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流活动成果：展开式各项的系数：上面 4 个括号中，每个都不
8、取 b 的情况有 1 种，即 C种，a 4 的系数是 C ；恰有 1 个取 b 的情况有 C 种，a 3b 的系数是 C ，恰有 2 个取 b 的情04 04 14 14况有 C 种，a 2b2 的系数是 C ，恰有 3 个取 b 的情况有 C 种，ab 3 的系数是 C ，有 4 个都24 24 34 34取 b 的情况有 C 种，b 4 的系数是 C ，(a b) 4C a4 C a3bC a2b2C a3bC b4.4 4 04 14 24 34 4设计意图：巩固已有的思想方法，建立猜想与证明二项式定理的认知基础与理论依据提出问题 3：根据以上展开式，你能猜想一下(ab) n 的展开式是
9、什么吗？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论活动成果：学生可能猜出正确的展开式，但是不一定按照正确的顺序写出来，也不一定了解其中的规律，我们应该将问题进一步具体化，学生可能更容易发现新知设计意图：通过学生对(ab) n 展开式的猜想，提高学生的归纳问题的能力，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体会数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣提出问题 4：请同学们根据猜想完成下式，并对所给答案给出说明：(ab) n(_)a n(_)a n1 b(_)a n2 b2(_)a nr br(_)b n(nN*)活动设计：先由学生独立完成，然后组织全班讨论，在讨论过程中要明确每一
10、项的形式及其相应的个数，学生之间可以相互求助、辩论活动成果：(1)(ab) n 的展开式的各项都是 n 次式，即展开式应有下面形式的各项：an，a n1 b，a nr br，b n.(2)展开式各项的系数：每个都不取 b 的情况有 1 种，即 C 种，a n 的系数是 C ；0n 0n恰有 1 个取 b 的情况有 C 种， an1 b 的系数是 C ，1n 1n恰有 r 个取 b 的情况有 C 种，a nr br 的系数是 C ，rn rn有 n 个都取 b 的情况有 C 种， bn 的系数是 C ，n n(a b)nC anC anbC anr brC bn(nN)，0n 1n rn n这个
11、公式叫二项式定理，右边的多项式叫(ab) n 的二项展开式呈现二项式定理(ab) nC anC an1 bC an2 b2C anr br C bn(nN)0n 1n 2n rn n设计意图：得出二项式定理，体会二项式定理的形成过程，理解二项式定理是由两个计数原理以及组合数公式得到的由于这是本大节的起始课，按照学习从问题开始、从学生的原有知识结构开始，通过这样的原则与模式进行设计，而且这种意识要贯穿于整个课堂教学的始终，使学生从整体上把握本节要研究的主要问题、主要脉络是什么样的，这样就会使学生清楚本节的学习目标和路线图，是学有目标，研有方向，胸怀全局，先见森林再见树木的学习，其学习效果是不言而
12、喻的Error!提出问题 1：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？活动设计：学生自由发言，教师根据前面总结证明的二项展开式进行引导活动成果：(1)它有 n1 项，各项的系数 C (k0,1，n) 叫二项式系数；kn(2)各项的次数都等于二项式的次数 n.设计意图：加深对二项式定理、二项展开式等概念、公式的理解提出问题 2：二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？活动设计：学生自由发言，可以相互讨论，教师进行引导活动成果：(板书)(1)字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0，字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n；(2)C ank bk 叫二项展开式的通项，
13、用 Tk1 表示，即通项 Tk1 C ank bk；kn kn(3)字母 a，b 可以是数，式子或其他设计意图：由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点Error!1 展开(1 )4.1x解法一：(1 )41C ( )C ( )2C ( )3( )41 .1x 141x 241x 341x 1x 4x 6x2 4x3 1x4解法二：(1 )4( )4(x1) 4( )4x4C x3C x2C x11 .1x 1x 1x 14 24 34 4x 6x2 4x3 1x4点评：比较复杂的二项式，有时先化简，再展开会更方便【巩固练习】求(2 )
14、6 的展开式x1x解：先将原式化简，再展开，得(2 )6( )6 (2x1) 6 (2x)6C (2x)5C (2x)4C (2x)3C (2x)2Cx1x 2x 1x 1x3 1x3 16 26 36 46(2x)1C 64x 3192x 2240x160 .56 660x 12x2 1x32 求(12x) 7 的展开式的第 4 项的二项式系数、项的系数思路分析：先把通项写出，分清什么是二项式系数，什么是系数解：(12x) 7 的展开式的第 4 项是 T31 C 173 (2x)3C 23x3358x 3280x 3.37 37所以展开式的第 4 项的二项式系数是 35，系数是 280.点评
15、： 要注意展开式的第 r1 项，对应于二项式系数 C ；要注意一个二项展开rn式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念有时相等，有时不相等，它们之间没什么必然的联系【巩固练习】求(x )9 的展开式中 x3 的系数1x解：(x )9 的展开式的通项是1xC x9r ( )r(1) rC x92r .r91x r9根据题意，得92r3，r3.因此，x 3 的系数是(1) 3C 84.39【变练演编】1(12x) 7 的展开式的第几项的二项式系数等于 35?2(x )9 的展开式中，含有 x6 项吗？若有，系数为多少？含有 x5 项吗？若有，系数1x为多少？请将你所能想到的所有答案都一
16、一列举出来1解：C C 35，所以第 4 项与第 5 项的二项式系数等于 35.37 472解：根据通项(1) rC x92r ，当 92r 6 时，r 无整数解；r9当 92r5 时，解得 r2，所以系数为 36.所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.设计意图：两个题的设计不仅是为了训练学生根据解题需要能熟练地将一个二项式展开，而且可以培养学生的发散性思维能力，并且可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性题型的新颖性、开放性更是不言而喻，学生的兴趣会更浓，思维也会更积极【达标检测】1求(2a 3b) 6 的展开式中的第 3 项2求(3b2a) 6 的展
17、开式中的第 3 项的系数3求(12i) 5 的展开式1解：T 21 C (2a)4(3b)22 160a 4b2；262解：T 21 C (3b)4(2a)24 860b4a2.所以，(3b 2a) 6 的展开式中的第 3 项的系数为 4 26860.3解：因为 a1，b2i，n5，由二项式定理，得(12i) 5C C 2iC (2i)2C (2i)3C (2i)4C (2i)505 15 25 35 45 5110i4080i8032i4138iError!1知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式以及展开式的通项、二项式系数与系数的概念2方法收获：正确区别“项的系数”和“ 二项式系数”3思
18、维收获：类比思想、化归归纳猜想证明思想Error!【基础练习】1已知(1x) n 的展开式中，x 3 的系数是 x 的系数的 7 倍，求 n 的值2已知(ax 1) 7(a0)的展开式中，x 3 的系数是 x2 的系数与 x4 的系数的等差中项，求 a的值【答案或解答】1依题意 C 7C ，即 7n，3n 1nn(n 1)(n 2)6由于 nN，整理得 n23n400，解得 n8.2依题意 C a2C a42C a3.57 37 47由于 a0，整理得 5a210a30，解得 a1 .105【拓展练习】3计算：( 1)5( 1) 5.a a4求证：3 2nC 32n2 C 32n4 C 321
19、10 n.1n 2n n 1n答案：3.解：( 1) 5( 1) 5a a( )5C ( )4C ( )3C ( )2C 1( )5C ( )4C ( )3C ( )a 15 a 25 a 35 a 45a a 15 a 25 a 35 a2C 1 2C ( )4C ( )2210a 220a4.45a 15 a 35 a4证明：右边10 n(91) n(3 21) n3 2nC 32(n1) C 32(n2)1n 2nC 3213 2nC 32n2 C 32n4 C 321左边，n 1n 1n 2n n 1n故原式得证设 计 说 明二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是
20、学习概率的重要基础本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫再以(ab) 4 为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项
21、以及项的个数，这也为推导(ab) n 的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性重视学生的参与过程，问题引导，师生互动重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯备 课 资 料二项式定理的妙用在数学中，有许多美妙的命名和定理二项式定理就是其中之一首先，看一看我们的二项式定理：(ab) nC anC an1 bC an2 b2C anr br C bn(nN*)这个公式所表示0n 1n 2n rn n的定理就是二项式定理T r 1C anr br 叫做二项展开式的通项公式，在这里 r1
22、才是项rn数，第一个位置的 a 按降幂排列，次数由 n 次降到 0 次，第二个位置的 b 按升幂排列，次数由 0 次升到 n 次，a、b 可以是任意实数，也可以是任意式子，能深刻理解二项式定理的结构特征、通项公式，就有许多美妙的用处其次，谈谈二项式定理的妙用：1)若在二项式定理中，令 a1、b1，就能得到 C C C C 2 n，即各二0n 1n 2n n项式系数之和等于 2n，也是含 n 个元素的集合的所有子集有 2n 个，其中非空子集、真子集都有(2 n1) 个，非空真子集有(2 n2) 个2)若令 a1、b1，则可得 C C C C ( 1)nC (11) n0，即0n 1n 2n 3n
23、 nC C C C 2n1 ，也就是在(a b) n 的展开式中，奇数项的二项式系数的0n 2n 1n 3n和等于偶数项的二项式系数的和且等于 2n1 .3)在二项式定理中，若令 a1、bx，则得到公式 (1 x)n1C xC x2C xrC xn，其有鲜明的形式特征，可快速准确地展开类似的1n 2n rn n二项式4)充分利用二项式的通项公式可以求出我们所要的任意一项5)在二项式定理中，若令未知数的系数等于 1，就可以得到二项展开式中各项系数之和f(x)(pxq) na 0a 1xa 2x2a 3x3a nxn，则有 a0a 1a 2a nf(1)， a0a 1a 2a 3(1) nanf(
24、1) ，a0a 2a 4 f(1)f(1)，a 1a 3a 5 f(1)f(1) 12 126)用二项式定理可以很好地解决整除问题例如 求证 32n2 8n9 能被 64 整除 求证 51511 能被 7 整除等7)在二项式系数表中，淋漓尽致地体现了组合数的两个重要性质：C C ，C C C .rn n rn rn 1 r 1n rn8)二项式系数 C (r0、1、2、n) 中，当 n 为偶数时，中间一项 C n 取得最大值，当rnn2n 为奇数时，中间两项 C n，C n 相等且同时取得最大值，且分别是第 1 项与第n 12 n 12 n21 项和第 1 项n 12 n 129)在二项式定理
25、中，使用递推法，即 Tr， Tr1， Tr2 系数间的关系可以解决系数最值问题10)利用二项式定理可以解决近似计算问题11)理解透彻二项式定理的结构关系，能应用它求解、证明许多式子例如：12C 4C 2 n1 C 2 nC 3 n；1n 2n n 1n n2nC 2n1 C 2n2 ( 1)n1 C 2(1) n1；1n 2n n 1nC 2C 4C 2 n1 C ？1n 2n 3n n在(2x) n 中若 xn 项的系数为 an(n2,3,4，)则 ？22a2 23a3 24a4 2nan总之，巧妙地应用二项式定理可以解决许多有趣实用的问题希望大家都能喜欢数学，学习数学，应用数学(设计者：毕晓岩)
