1、1限时集训（十五）圆锥曲线的方程与性质基础过关1.若双曲线 - =1(a0)的一条渐近线与直线 y= x垂直,则此双曲线的实轴长为 ( ) y2a2x29 13A.2 B.4 C.18 D.362.已知点 F是抛物线 y2=4x的焦点, M,N是该抛物线上两点, |MF|+|NF|=6,则线段 MN的中点的横坐标为 ( )A.1 B.2 C.3 D.43.已知 F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆 + =1的两个焦点, P是椭圆上的点,当 F1PF2= 时,x2my2n 23F1PF2的面积最大,则有 ( )A.m=12,n=3 B.m=24,n=6C.m=6,n= D.m=12,n=632
2、4.已知直线 l与抛物线 C:y2=4x相交于 A,B两点,若线段 AB的中点为(2,1),则直线 l的方程为 ( )A.y=x-1 B.y=-2x+5C.y=-x+3 D.y=2x-35.设 F1,F2分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点, A1,A2分别为双曲线的左、右顶点,x2a2y2b2其中 |F1F2|= |A1A2|,若双曲线的顶点到渐近线的距离为 ,则双曲线的标准方程为 ( )3 2A. - =1 B. - =1x23y26 x26y23C.x2- =1 D. -y2=1y22 x226.若双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线与圆( x- )2+(y-1)2=1
3、相切,则此双曲线的离心x2a2y2b2 3率为 ( )A.2 B. C. D.5 3 27.已知抛物线 y2=4x的焦点为 F,以 F为圆心的圆与抛物线交于 M,N两点,与抛物线的准线交于 P,Q两点,若四边形 MNPQ为矩形,则矩形 MNPQ的面积是 ( )A.16 B.12 C.4 D.33 3 328.在等腰梯形 ABCD中 AB CD,|AB|=2|CD|=4, BAD=60,某双曲线以 A,B为焦点,且经过 C,D两点,则该双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D. +12 3 5 39.已知 F1,F2分别是双曲线 3x2-y2=3a2(a0)的左、右焦点,点 P是抛物线 y2
4、=8ax与双曲线的一个交点,若 |PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为 ( )A.x=-4 B.x=-3 C.x=-2 D.x=-110.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M在抛物线 C上,且 |MO|=|MF|= (O为坐标原点),32则 MOF的面积为 ( )A. B. C. D.22 12 14 211.已知双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线 y2=4x的准线分别交于 A,B两点, Ox2a2y2b2为坐标原点,若 S AOB=2 ,则双曲线的离心率 e= . 312.已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的渐近线方程为 y= x,若抛物
5、线 y2=8x的焦点与双曲x2a2y2b2 33线 C的右焦点重合,则双曲线 C的方程为 . 13.已知 F是抛物线 C:x2=12y的焦点, P是 C上的一点,直线 FP交直线 y=-3于点 Q.若 =2PQ,则 |PQ|= . FP能力提升14.已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的左顶点为 A,过双曲线的右焦点 F2作 x轴的垂线交 C于x2a2y2b2点 M,点 M位于第一象限,若 AF2M为等腰直角三角形,则双曲线 C的离心率为 ( )A. B.23C.1+2 D.2 -12 215.设椭圆 + =1,双曲线 - =1(其中 mn0)的离心率分别为 e1,e2,则 ( )x2m2
6、y2n2 x2m2y2n2A.e1e21 B.e1e20,b0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支x2a2y2b2交于点 P,Q,若 |PQ|=2|QF|, PQF=60,则该双曲线的离心率为 ( )A. B. +1 C.2+ D.4+23 3 3 318.已知直线 l过抛物线 C:y2=4x的焦点, l与 C交于 A,B两点,过点 A,B分别作 C的切线,且交于点 P,则点 P的轨迹方程为 . 限时集训(十五)基础过关1.C 解析 由双曲线的方程 - =1(a0),可得其一条渐近线的方程为 y=- x,所以 - =-1,解y2a2x29 a3 a3 13得 a=9,所以双曲线的
7、实轴长为 2a=18,故选 C.2.B 解析 设点 M(xM,yM),N(xN,yN).易知抛物线 y2=4x的准线方程为 x=-1.由|MF|+|NF|=6,可得 xM+1+xN+1=6,即 xM+xN=4,MN 的中点的横坐标为 =2,故选 B.xM+xN23.A 解析 设点 P(xP,yP). = |F1F2|yP|, 当 P为短轴端点 B时, F1PF2的S F1PF212面积最大,此时 OBF1= ,又 mn0, tan = ,n= 3,m=n+ 32=12,故选 A.3 3 3n4.D 解析 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 两式相减得( y1+y2)(y1-y2)=4
8、(x1-x2).因y21=4x1,y22=4x2,为 AB的中点为(2,1),所以 y1+y2=2,所以 = = =2,即直线 l的斜率为 2,由点斜式得y1-y2x1-x2 4y1+y242直线 l的方程为 y-1=2(x-2),化简得 y=2x-3,故选 D.5.A 解析 由题得 双曲线的标准方程为 - =1,故选 A.2c=2 3a,|ab|a2+b2= 2,c2=a2+b2, a2=3,b2=6, x23y2646.A 解析 由题意得,双曲线的渐近线 y= x与圆( x- )2+(y-1)2=1相切,即圆心( ,1)ba 3 3到直线 y= x的距离为 1,则 =1,解得 b= a,则
9、 c2=a2+b2=4a2,e= =2,故选 A.ba |3ba-1|1+b2a2 3 ca7.A 解析 不妨设点 M在第一象限 .因为四边形 MNPQ为矩形,所以 |PQ|=|MN|,圆心 F到准线的距离与到 MN的距离相等,所以 M点的横坐标为 3,代入抛物线方程,可得 M(3,2 ),N(3,-2 ),所以 |MN|=4 ,|NP|=4,3 3 3从而求得矩形 MNPQ的面积 S=44 =16 ,故选 A.3 38.D 解析 由题意及双曲线的离心率定义可知,双曲线的离心率 e= .由|AB|DB|-|DA|AB|=2|CD|=4, BAD=60,可得 |DA|=2,|DB|=2 ,所以
10、e= = +1,故选 D.3423-2 39.C 解析 由题得双曲线的方程为 - =1(a0),所以 c2=a2+3a2=4a2,即 c=2a.所以双曲线x2a2y23a2的右焦点和抛物线的焦点重合 .由题得 所以 |PF2|=6-a,则 00,b0)的渐近线为 y= x,13x2a2y2b2 ba抛物线 y2=4x的准线为 x=-1,所以 A -1, ,B -1,- ,因此 S AOB= 1 =2 ,所以 b=2ba ba 12 2ba 3a,所以 c= a,e= = .3 13ca 1312. -y2=1 解析 抛物线 y2=8x的焦点为(2,0),且抛物线的焦点与双曲线 C的右焦点重x2
11、3合, c= 2. 双曲线 C的渐近线方程为 y= x, = ,又 c2=a2+b2,a 2=3,b2=1, 双曲线33 ba 33C的方程为 -y2=1.x23513.8 解析 由题知 F(0,3),直线 y=-3为抛物线 C的准线,如图所示,记直线 y=-3与 y轴的交点为 N,过点 P作 PM QN,垂足为 M.因为 |PM|=|PF|,|PQ|=2|FP|,所以 |PQ|=2|PM|,所以 PQM=30,又因为 |FN|=6,所以 |FQ|=12,故 |PQ|= |FQ|=8,故答案为 8.23能力提升14.B 解析 依题意得 |F2M|= ,|AF2|=a+c,由于 AF2M为等腰直
12、角三角形,则 |F2M|=|AF2|,b2a即 =a+c,得 b2=a2+ac,c2-a2=a2+ac,c2-ac-2a2=0,两边同时除以 a2得 e2-e-2=0,可得 e=2,故b2a选 B.15.B 解析 在椭圆 + =1(mn0)中, c1= ,e 1= = .在双曲线 -x2m2y2n2 m2-n2 c1m m2-n2m x2m2=1(mn0)中, c2= ,e 2= = .则 e1e2= = =y2n2 m2+n2 c2m m2+n2m m2-n2m m2+n2m m4-n4m41,故选 B.1-(nm) 416.D 解析 由题意得 |AF2|=b2,A(c,b2),F1(-c,
13、0).设 B(x,y),由 |AF1|=3|F1B|,得( -2c,-b2)=3(x+c,y),则 故 B - c,- b2 ,代入椭圆方程可得 - c 2+ =1,又x=-53c,y=-13b2, 53 13 53 (-13b2) 2b2b2+c2=1,解得 c= ,所以 e= = ,故选 D.33 ca 3317.B 解析 连接 PF.|PQ|= 2|QF|, PQF=60, PFQ=90,设双曲线的左焦点为 F1,连接 F1P,F1Q,由对称性可知四边形 F1PFQ为矩形,且 |F1F|=2|QF|,|QF1|= |QF|,3故 e= = = = +1,故选 B.2c2a |F1F|QF
14、1|-|QF| 23-1 318.x=-1 解析 不妨将抛物线旋转为 x2=4y,直线 l旋转为直线 l,则 l的斜率存在 .设直线 l的方程为 y=kx+1,旋转后 A,B两点的坐标分别为 x1, , x2, .由14x21 14x22得 x2-4kx-4=0. 由 x2=4y,得 y= x,则抛物线 x2=4y在点 A处的切线方程为x2=4y,y=kx+1, 12y- = x1(x-x1).同理可得抛物线 x2=4y在点 B处的切线方程为 y- = x2(x-x2).由14x2112 14x22126得 y= x1x2,再由 式可得 x1x2=-4,所以 y=-1.故原抛物线 C对应的y-14x21=12x1(x-x1),y-14x22=12x2(x-x2) 14点 P的轨迹方程为 x=-1.
