1、1第 21讲 坐标系与参数方程1.2018全国卷 在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 2+2 cos - 3=0.(1)求 C2的直角坐标方程;(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点,求 C1的方程 .试做 2.2017全国卷 在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为 ( 为参数),直线 l的参数方程为x=3cos ,y=sin (t为参数) .x=a+4t,y=1-t(1)若 a=-1,求 C与 l的交点坐标;(2)若 C上的点到 l距离的最大值为 ,求 a.17试做 命题角度 坐标系
2、与参数方程(1)根据 x= cos ,y= sin 以及 2=x2+y2可将极坐标方程化为直角坐标方程;(2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入等方法实现;(3)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为直角坐标方程或普通方程再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型 .解答 1极坐标与简单曲线的极坐标方程21 在平面直角坐标系 xOy中,已知直线 l:x+ y=5 ,以原点 O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,3 3圆 C的极坐标方程为 = 4sin .(1)求直线 l的
3、极坐标方程和圆 C的直角坐标方程;(2)射线 OP:= 与圆 C的交点为 O,A,与直线 l的交点为 B,求线段 AB的长 .6听课笔记 【考场点拨】进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式: x= cos ,y= sin , 2=x2+y2.方程的两边同乘(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法 .【自我检测】在直角坐标系 xOy中,圆 C1:(x-2)2+(y-4)2=20,以坐标原点 O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2:= ( R) .3(1)求 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C3的极坐标方程为 = ( R),设 C2与 C1
4、的交点为 O,M,C3与 C1的交点为 O,N,求 OMN的面积 .6解答 2简单曲线的参数方程2 已知直线 l的参数方程为 (t为参数),曲线 C的参数方程为 ( 为参数),x=1+tcos ,y=tsin x= 3cos ,y=sin 且直线 l交曲线 C于 A,B两点 .(1)将曲线 C的参数方程化为普通方程,并求当 = 时, |AB|的值;4(2)已知点 P(1,0),当直线 l的倾斜角 变化时,求 |PA|PB|的取值范围 .听课笔记 3【考场点拨】(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来,所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时,用参数方程求解非常方
5、便;(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义,在解题时能够事半功倍 .【自我检测】已知曲线 C: + =1,直线 l: (t为参数) .4x29 y216 x=3+t,y=5-2t(1)写出曲线 C的参数方程和直线 l的普通方程;(2)设曲线 C上任意一点 P到直线 l的距离为 d,求 d的最大值与最小值 .解答 3极坐标方程与参数方程的综合应用3 在直角坐标系 xOy中,直线 l的参数方程为 (t为参数),以原点 O为极点, x轴的正半轴为x=2+ 22t,y= -1+ 22t极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 = 2 acos .2 ( +4)(a56)(1)分别写出直
6、线 l的普通方程与曲线 C的直角坐标方程;(2)已知点 P(2,-1),直线 l与曲线 C相交于 M,N两点,若 |MN|2=6|PM|PN|,求 a的值 .听课笔记 【考场点拨】参数方程主要通过代入法或者利用已知恒等式(如 cos2+ sin2= 1等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程 .利用关系式 等可以将极坐标x= cos ,y= sin ,x2+y2= 2,yx=tan 方程与直角坐标方程互化 .4【自我检测】在平面直角坐标系 xOy中,直线 l的方程为 x-y-2 =0,以坐标原点 O为极点,以 x轴正半轴为极轴,建立极坐3 3标系,曲线
7、C的极坐标方程为 2cos = (1-cos2 ).(1)写出直线 l的一个参数方程与曲线 C的直角坐标方程;(2)已知直线 l与曲线 C交于 A,B两点,试求 AB的中点 N的坐标 .5模块七 选考模块第 21讲 坐标系与参数方程典型真题研析1.解:(1)由 x= cos ,y= sin 得 C2的直角坐标方程为( x+1)2+y2=4.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(-1,0),半径为 2的圆 .由题设知, C1是过点 B(0,2)且关于 y轴对称的两条射线 .记 y轴右边的射线为 l1,y轴左边的射线为 l2.由于 B在圆 C2的外面,故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与
8、 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点,或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点 .当 l1与 C2只有一个公共点时, A到 l1所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=- 或 k=0.|-k+2|k2+1 43经检验,当 k=0时, l1与 C2没有公共点;当 k=- 时, l1与 C2只有一个公共点, l2与 C2有两个公共点 .43当 l2与 C2只有一个公共点时, A到 l2所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=0或 k= .|k+2|k2+1 43经检验,当 k=0时, l1与 C2没有公共点;当 k= 时, l2与 C2没有公共点 .43综上,所求
9、 C1的方程为 y=- |x|+2.432.解:(1)曲线 C的普通方程为 +y2=1.x29当 a=-1时,直线 l的普通方程为 x+4y-3=0.由 解得 或x+4y-3=0,x29+y2=1, x=3,y=0 x= -2125,y=2425. 从而 C与 l的交点坐标为(3,0), .(-2125,2425)(2)直线 l的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C上的点(3cos ,sin )到 l的距离6d= .|3cos +4sin -a-4|17当 a -4时, d的最大值为 ,由题设得 = ,所以 a=8;a+917 a+917 17当 a ,56t 1t20, (t1-t2)2
10、=-6t1t2, (t1+t2)2+2t1t2=0,即( - )2+2(5-6a)=0,2解得 a=1,符合题意,a= 1.【自我检测】解:(1)直线 l的方程为 x-y-2 =0,3 3即 (x-2)=y.3令 x=t+2,y= t,3则直线 l的一个参数方程为 (t为参数) .x=t+2,y= 3t由曲线 C的极坐标方程可得 2(1-cos2 )=2 cos ,即 2sin2= 2 cos ,可得曲线 C的直角坐标方程为 y2=2x.(2)将 代入 y2=2x,得 3t2-2t-4=0.x=t+2,y= 3t设 A,B对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2= .23设点 A(x1,y
11、1),B(x2,y2),N(x0,y0),则 x0= =2+ = ,y0= = = ,x1+x22 t1+t22 73 y1+y22 3(t1+t2)2 339故 AB的中点 N的坐标为 .(73,33)备选理由 例 1第(2)问考查两弦长之和,其实质是极径之和,可以写成极角的表达式,利用三角函数求解最值,有利于强化学生的综合分析能力与化归转化思想;例 2考查参数方程与极坐标方程的综合应用 .例 1 配例 1使用在直角坐标系 xOy中,圆 C的圆心为 ,半径为 ,以原点 O为极点, x轴的正半轴为极轴建(0,12) 12立极坐标系 .(1)求圆 C的极坐标方程;(2)设 M,N是圆 C上两个动
12、点,且满足 MON= ,求 |OM|+|ON|的最大值 .23解:(1)圆 C的直角坐标方程为 x2+ = ,即 x2+y2-y=0,(y-12)214化成极坐标方程为 2- sin = 0,整理得 = sin .(2)设 M( 1, ),N ,( 2, +23)则 |OM|+|ON|= 1+ 2=sin + sin( +23)= sin + cos = sin .12 32 ( +3)由 得 0 ,所以 + ,0 ,0 +23 , 3 3 323故 sin 1,即 |OM|+|ON|的最大值为 1.32 ( +3)例 2 配例 3使用在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为 (其中 为
13、参数),曲线x=1+cos ,y=sin C2: + =1.以原点 O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .x28y24(1)求曲线 C1,C2的极坐标方程;(2)射线 l:= ( 0)与曲线 C1,C2分别交于点 A,B(A,B均异于原点 O),当 0 时,求 |OB|2-|OA|2的最小值 .2解:(1)由题意得,曲线 C1的普通方程为( x-1)2+y2=1,则 C1的极坐标方程为 = 2cos .10曲线 C2的极坐标方程为 2= .81+sin2(2)联立 = ( 0)与 C1的极坐标方程,得 |OA|2=4cos2 ,联立 = ( 0)与 C2的极坐标方程,得 |OB|2= ,81+sin2则 |OB|2-|OA|2= -4cos2= -4(1-sin2 )= +4(1+sin2 )-881+sin2 81+sin2 81+sin22 -8=8 -8(当且仅当 sin = 时取等号),81+sin2 4(1+sin2 ) 2 2-1所以 |OB|2-|OA|2的最小值为 8 -8.2
