1、探索相似三角形的条件练习一、选择题(本大题共 10 小题，共 30.0 分)1.下列说法错误的是（ ） A.两个等边三角形一定相似 B.两个等腰三角形一定相似 C.两个等腰直角三角形一定相似 D.两个全等三角形一定相似2.如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、BC 上，下列条件中不能判断CABCED 的是（ ） A.CDE=B B.CED=A C. D.3.下列 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与ABC 相似的是（ ） A. B. C. D.4.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC 与 BD 相交于点 O，则下列三角形中
2、，与BOC 一定相似的是（ ） A.ABD B.DOA C.ACD D.ABO5.已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD 交于 O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ） A.只有（1）相似 B.只有（2）相似 C.都相似 D.都不相似6.如图所示，给出下列条件： B=ACD； ADC=ACB； ；AC 2=ADAB 其中单独能够判ABCACD 的有（ ） A. B. C. D.7.如图，若 A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使 ABCPQR，则点 R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ） A.甲 B.乙 C.
3、丙 D.丁8.P 是ABC 一边上的一点（P 不与 A、B 、C 重合），过点 P 的一条直线截ABC，如果截得的三角形与 ABC 相似，我们称这条直线为过点 P 的ABC的“相似线”RtABC 中，C=90 ，A=30，当点 P 为 AC 的中点时，过点 P 的 ABC 的“相似线”最多有几条？（ ） A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条9.如图所示，在ABC 中，AB=6，AC=4，P 是 AC 的中点，过 P 点的直线交 AB 于点 Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以 A、B 、C 为顶点的三角形相似，则 AQ 的长为( ) A.3 B.3 或 C.3 或 D.（ 第 9
4、 题） （ 第 10 题）10.如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，如果 DEBC，且DCE=B，那么下列说法中，错误的是（ ） A.ADEABC B.ADEACD C.ADEDCB D.DECCDB二、填空题(本大题共 6 小题，共 18.0 分)11.如图，已知A= D，要使ABCDEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 _ （只需写一个条件，不添加辅助线和字母）12.如图，AB 与 CD 相交于点 O，OA=3 ，OB=5 ，0D=6当 OC= _ 时，图中的两个三角形相似（只需写出一个条件即可）（ 第 11 题） （ 第 12 题） 13.要做两个形状为三角形的框
5、架，其中一个三角形框架的三边长分别为 4，5，6，另一个三角形框架的一边长为 2，欲使这两个三角形相似，三角形框架的两边长可以是_cm14.如图，在ABC 中，AB=9，AC=12，BC=18 ，D 为 AC 上一点，DC= AC在 AB 上取一点 E 得ADE若图中两个三角形相似，则 DE 的长是 _ （ 第 14 题） （ 第 15 题） （ 第 16 题） 15.如图，在ABC 中，AB=6cm，AC=5 cm，点 P 从 A 点出发，以 2cm/S 的速度沿 AB 方向向 B 运动，同时点 Q 从 C 点出发，以 1cm/S 的速度沿 CA 方向向点 A 运动，当一点到达终止，当一点也
6、停止，连接 PQ设运动时间为 ts，当 t= _ S 时，ABC 与 APQ相似16.如图所示，正方形 ABCD 边长是 2，BE=CE，MN=1，线段 MN 的端点 M、N 分别在CD、AD 上滑动，当 DM= _ 时， ABE 与以 D、M 、N 为顶点的三角形相似三、解答题(本大题共 9 小题，共 72.0 分)17.如图，在ABC 中，AD BC，垂足为 D，ECAB，垂足为E 连接 DE试说明BDEBAC 18.如图，ABC 中，AB=AC ，BE AC 于 E，D 是 BC 中点，连接 AD 与 BE 交于点 F，求证：AFEBCE 19.如图，B，C，E 是同一直线上的三个点，四
7、边形 ABCD 与四边形 CEFG 都是正方形连接 BG，DE ，DE 交 GF 于点 H （1）求证：BCG DCE； （2）求证：BCGDGH 20.如图，ABBD ，CDBD，A B=6cm，CD=4cm ，BD=14cm ，点 P 在 BD 上由点 B 向点D 方向移动，当点 P 移到离点 B 多远时，APB 和CPD 相似？ 21.如图，在ABC 中，AB=AC=1 ，BC= ，在 AC 边上截取AD=BC，连接 BD （1）通过计算，判断 AD2 与 ACCD 的大小关系； （2）求ABD 的度数 22.如图，已知ABC 中，AB= ，AC= ，BC=6 ，点 M 为 AB 的中点
8、，在线段 AC上取点 N，使AMN 与ABC 相似，求 MN 的长 23如图已知 ABBD，CDBD若AB=9，CD=4，BD=10，请问在 BD 上是否存在 P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求 BP 的长；若不存在，请说明理由 24.如图，在平面直角坐标系中，已知 OA=12 厘米，OB=6 厘米点 P 从点 O 开始沿 OA 边向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动；点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O以 1 厘米/秒的速度移动如果 P、Q 同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0t6），那么，当 t 为何值时，POQ 与A
9、OB 相似？ 25.如图，已知 OAOB，OA=4，OB=3 ，以 AB 为边作矩形ABCD，使 AD=a，过点 D 作 DE 垂直 OA 的延长线交于点E （1）证明：OAB EDA； （2）当 a 为何值时，OAB 与EDA 全等？请说明理由，并求出此时点 C 到 OE 的距离 探索相似三角形的条件练习参考答案1、选择题：1. B解：A、两个等边三角形一定相 似，所以 A 选项的说法正确； B、两个等腰三角形不一定相似，如等边三角形与等腰直角三角形不相似，所以 B 选项的说法错误； C、两个等腰直角三角形一定相似，所以 C 选项的说法正确； D、两个全边三角形一定相似，所以 D 选项的说法
10、正确 故选 B 2. D解：A、CDE=B，C= C， CABCED， 选项 A 能判断 CABCED； B、CED= A，C= C， CABCED， 选项 B 能判断CAB CED； C、 ， C=C， CABCED， 选项 C 能判断CAB CED； D、由 ，C= C， 不能判断CABCED； 故选：D 3. B解：根据勾股定理，AB= =2 ，BC= ， 所以，夹直角的两边的比为 =2， 观各选项，只有 B 选项三角形符合，与所给图形的三角形相似 故选：B 4. B2. 解：ADBC， OBC=ODA，OCB= OAD， AOD=BOC， BOCDOA， 故选 B 5.C解：对于图（1
11、）：180-75-35=70，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似； 对于（2）图：由于 = ，AOC= DOB，所以AOC DOB 故选 C 6. C解：A 是公共角， 当 B=ACD 时，ABCACD （有两组角对应相等的两个三角形相似）； 当ADC=ACB，ABC ACD（有两组角对应相等的两个三角形相似）； 当 = 时，A 不是夹角，则不能判定ABC 与 ACD 相似； 当 AC2=ADAB 时，即 = ，ABCACD （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似） 能够判定ABC 与ACD 相似的条件是： 故选：C 7.C解：根据题意，ABC 的三边之
12、比为 ： ： ， 要使ABCPQR，则PQR 的三边之比也应为 ： ： ，经计算只有丙点合适，故选 C 8. C解：如图所示： 当 PDBC 时，APDACB； 当 PEAB 时，CPEBAC； 当 PFAB 时， APFABC 故过点 P 的ABC 的相似线最多有 3 条 故选：C 9.B解：当ABCAQP 时， ，即 ，AQ=3； 当ABCAPQ 时， ，即 ，AQ= ， 故选 B 10. C解： DEBC， ADEABC，BCD= CDE， ADE=B，AED=ACB， DCE=B， ADE=DCE， 又A= A， ADEACD； BCD=CDE，DCE=B， DECCDB； B=ADE
13、， 但是BCDAED ，且BCDA ， ADE 与DCB 不相似； 正确的判断是 A、B、D，错误的判断是 C； 故选：C 二、填空题：11. 解：A=D， 当 B=DEF 时，ABC DEF， ABDE 时，B= DEF， 添加 ABDE 时，使ABC DEF 故答案为 ABDE 12. 解；OA=3，OB=5，0D=6， 当 OC= 时，则 = = ， 而AOC=DOB（公共角）， AOCDOB 当 OC= 时，图中的两个三角形相似 故答案为： 13. 解：题中没有指明边长为 2 的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论： (1)若边长为 2 的边与边长为 4 的边相对应，则另两边为 和
14、 3； (2)若边长为 2 的边与边长为 5 的边相对应，则另两边为 和 ； (3)若边长为 2 的边与边长为 6 的边相对应，则另两边为 和 故三角形框架的两边长可以是： 和 3 或 和 或 和 14. 解：AC=12，DC= AC； AD=4 若 AD 与 AC 对应成比例，则 DE= BC=6； 若 AD 与 AB 对应成比例，则 DE= BC= 18=8 所以 DE 的长为 6 或 8 15. 解：根据题意得：AP=2tcm，CQ=tcm，则 AQ=（5-t）cm ， A=A， 分两种情况： 当 时， ， 解得：t= ； 当 时， ， 解得：t= ； 综上所述：t= s 或 s 时，
15、ABC 与 APQ 相似； 故答案为： 或 16. 解：正方形 ABCD 边长是 2BE=CE=1，B=D=90 在 RtABE 中，AE= = 第一种情况：当ABEMDN 时，AE ：MN=AB：DM ，即 ：1=2：DM ，DM= ； 第二种情况：当ABENDM 时，AE ：MN=BE：DM，即 ：1=1：DM，DM= 所以 DM= 或 三、解答题：17.证明：AD BC ADB=90 ECAB CEB=90 点 D 和点 E 在以 AC 为直径的圆上， BDE=BAC， 而DBE=ABC， BDEBAC 18.证明：AB=AC ，D 是 BC 中点， ADBC， ADC=90， FAE+
16、AFE=90， BEAC， BEC=90， CBE+BFD=90， AFE=BFD， FAE=CBE， AFEBCE 19.证明：（1）正方形 ABCD 与正方形 CEFG 中， BC=CD，CE=CG， BCG=ECD=90 在BCG 与DCE 中， ， BCGDCE； （2）BCGDCE， GBC=GDH 又BCG= DGH=90， BCGDGH 20.解：AB BD，CDBD ， B=D=90， 当 或 时，PAB 与PCD 是相似三角形， AB=3，CD=8，BD=10， = 或 = ， 解得：BP=6 或 4 或 ， 即 PB=6 或 4 或 时，PAB 与 PCD 是相似三角形 2
17、1.解：（1）AB=BC=1，BC= ， AD= ，DC=1- = AD2= = ，ACCD=1 = AD2=ACCD （2）AD=BD，AD 2=ACCD， BD2=ACCD，即 又C=C ， BCDABC ，DBC=A DB=CB=AD A=ABD，C= D 设A= x，则ABD= x，DBC=x，C=2x A+ABC+C=180， x+2x+2x=180 解得：x=36 ABD=36 22.解： 图 1，作 MNBC 交 AC 于点 N，则AMNABC， 有 ， M 为 AB 中点，AB= ， AM= ， BC=6， MN=3； 图 2，作 ANM=B，则ANMABC， 有 ， M 为
18、AB 中点，AB= ， AM= ， BC=6，AC= ， MN= ， MN 的长为 3 或 23.解：存在 P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C 、D 三点为顶点的三角形相似， 理由是：设 BP=x， ABBD，CDBD ， B=D=90， 当 = 或 = 时，使以 P、A 、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似， = 或 = ， 解方程 得： x= ，经检验 x= 是方程 的解，且符合题意 方程 得：x（10-x ）=36 ， x2-10x+36=0， =（-10） 2-41360，此方程无解， 当 BP= 时，以 P、A、B 三点为顶点的三角形
19、与以 P、C 、D 三点为顶点的三角形相似，存在 P 点，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似，此时 BP 的值为 24.解： 若POQAOB 时， = ，即 = ， 整理得：12-2t=t， 解得：t=4 若POQBOA 时， = ，即 = ， 整理得：6-t=2t， 解得：t=2 0t6， t=4 和 t=2 均符合题意， 当 t=4 或 t=2 时，POQ 与 AOB 相似 25.（1）证明：如图所示， OAOB， 1+2=90， 又 四边形 ABCD 是矩形， BAD=90， 2+3=90， 1=3， OAOB，OEOA， BOA=DEA=90，
20、 OABEDA （2）解：在 RtOAB 中，AB= =5， 由（1）可知1=3， BOA=DEA=90， 当 a=AD=AB=5 时，AOB 与EDA 全等 当 a=AD=AB=5 时，可知矩形 ABCD 为正方形， BC=AB，如图，过点 C 作 CHOE 交 OE 于点 H， 则 CH 就是点 C 到 OE 的距离，过点 B 作 BFCH 交 CH 于点F， 则4 与5 互余， 1 与5 互余， 1=4， 又BFC= BOA，BC=AB， OABFCB（AAS ）， CF=OA=4，BO=BF 四边形 OHFB 为正方形， HF=OB=3， 点 C 到 OE 的距离 CH=CF+HF=4+3=7
