1、湖南省湘东五校 2017 年下期高三联考文科数学试题总分:150 分 时量:120 分钟 考试时间:2017 年 12 月 8 日由 醴陵市一中 浏阳市一中 攸县一中 株洲市八中 株洲市二中 联合命题姓名_ 考号_一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知全集 U=R,A= ,则集合 =A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为 ， ，所以 ， ，故选 D.考点：1、集合的表示；2、集合的并集及集合的补集.2. 若复数 为纯虚数，则实数 的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析
2、：若复数 为纯虚数，则必有 解得： ，所以答案为 C考点：1纯虚数的定义；2解方程3. 下列说法中正确的是A. “ ”是“ ”成立的充分条件B. 命题 ， ,则 ，C. 命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题D. “ ”是“ ”成立的充分不必要条件【答案】A【解析】A. 由“ ”可得“ ”，所以“ ”是“ ” 成立的充分条件，正确；B. 命题 ， ,则 ， ，B 不正确；C. 命题“若 ，则 ”的逆命题为：若 ，则 ,有 结论不成立，所以 C 不正确；D. “ ”但是 不成立，所以“ ”不是是“ ”的充分条件，D 不正确.故选 A.4. 已知 ,若 ,则 的最小值为A. 4 B. 9 C. 8 D
3、. 10【答案】B【解析】 ,若 ,则 ，即 .当且仅当 ，结合 且 知 时有 的最小值为 9.故选 B.5. 已知直线 ，平面 且 给出下列命题：若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 . 其中正确的命题是A. B. C. D. 【答案】A【解析】若 ，且 mm ，又 lml ，所以 正确。若 ,且 m m ，又 l，则 m 与 l 可能平行，可能异面，所以不正确。若 ml，且 m，l 与 可能平行，可能相交。所以不正确。若 ml，且 m l 又 l， 正确。故选：B.6. 已知在等比数列 中， ，前三项之和 ，则公比 的值是A. 1 B. C. 1 或 D. 或【答案】C【解析
4、】因为 ,所以 , .所以公比为 .7. 将函数 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，所得图象的一条对称轴方程可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：横坐标伸长到原来的 2 倍，则周期变为 2 倍，函数式为 ，令得对称轴为考点：三角函数性质8. 程序框图如下图所示，当 时，输出的 的值为A. 23 B. 24 C. 25 D. 26【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算 的值， ，退出循环的条件为 SA，当 k=24 时, 满足条件，故输出 k=24，故选：B.9. 已知正三棱锥 PABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表
5、面积为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】由正视图与侧视图知，正三棱锥的侧面上的高为 ，底面正三角形的边长为 2 ，如图：其中 SA=4，AH=2，SH=2 ，设其外接球的球心为 0，半径为 R，则：OS =OA=R， ， ，外接球的表面积 .故选：B.点睛：求多面体的外接球的面积或体积问题是高考常见问题，属于高频考点，有一定的难度.如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小
6、圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.10. 已知圆心为 ，半径为 1 的圆上有不同的三个点 ，其中 ，存在实数 满足，则实数 的关系为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得 ，且 .因为 ，即 .平方得： .故选 A.11. 已知函数 ， ，设为实数，若存在实数 ，使 ，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ， .函数 , ,由图可知： .存在实数 ，使 ，则 ，即 .解得 .故选 C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性
7、、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等12. 已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点， 在抛物线上且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】设点 ， ，所以切线方程为： ，因为过点 A ，所以代入得不妨取 ，则点 P ，又点 B 且，点 恰好在以 、 为焦点的双曲线上，所以，所以 ，故点睛：本题解题关键是要明确各个点的位置，先通过题意分析要先求出切线方程，求出切点，然后根据双曲线的几何定义便可
8、得到离心率，做此类题型时要做到量的关系明确，同时曲线相关定义要熟悉.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知满足 不等式组 ,则 的最大值为 _【答案】6【解析】试题分析：由约束条件 作可行域如图，由 z=2x+y，得 y=-2x+z，由图可知，当直线 y=-2x+z 过可行域内的点 B（2 ，2）时，直线在 y 轴上的截距最大，即 z 最大 z=22+2=6故答案为： 6考点：简单线性规划14. 已知等差数列 的公差为 d，若 的方差为 8, 则 d 的值为_【答案】【解析】试题分析：由公差性质 的平均数为 ，所以方差考点：等差数列性质及方差15. 圆心在抛
9、物线 上，并且和该抛物线的准线及 轴都相切的圆的标准方程为_【答案】【解析】由题意知,设 为圆心且 t0,且准线方程为 y= ，与抛物线的准线及 y 轴相切，t= t=1.即圆心为(-1, ，半径为 1.答案为： .点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小16. 已知函数 ,若对任意的 ,恒有成立, 则实数的取值范围是 _【答案】【解析】试题分析： 恒成立，等价于 ，所以 在 上单调递增， ，由于 ，
10、所以 .考点：函数导数.【思路点晴】恒成立问题主要解题思路是划归与转化的思想.本题中，任意的 ， ，恒有成立，等价于 .经过划归之后，问题就转化为求函数的最大值和最小值问题，可以通过导数来解决. 在问题的最后，还需要用分离常数的方法来计算.三.解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数 .()求 的最小值，并写出取得最小值时的自变量 x 的集合；()设ABC 的内角 所对的边分别为 a，b，c，且 ， ，若 ，求 a，b 的值【答案】 （I） 的最小值为 ， x| ；（ II） .【解析】试题分析：（1） 利用三角恒等变换化简 ，当 即 时，的最小值为
11、 此时自变量 的取值集合为 （2）因为 所以 又所以 即 由正弦定理知 又 结合余弦定理知得 联立 解得试题解析： 当 即时， 的最小值为此时自变量 的取值集合为 （或写成 ） 因为 所以 又所以 即在 中, 由正弦定理知 又由余弦定理知 即联立 解得点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小涉及三角函数性质，需要利用三角恒等变化后分析函数的最值，对称轴等，要牢记三角函数的图像和性质18.
12、 (本小题满分 12 分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:日期 网 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日昼夜温差 x(C) 10 11 13 12 8 6就诊人数 y(个) 22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组 ,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验.()求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；()若选
13、取的是 1 月与 6 月的两组数据, 请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 ；()若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(参考公式: )参考数据： 1092， 498【答案】 （I） ；（II） ；() 见解析.【解析】试题分析：()本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从 6 组数据中选取 2 组数据共有 C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种，根据古典概型的概率公式得到结果()根据所给的数据，求出 x，y 的平均数，根据求线性回
14、归方程系数的方法，求出系数 b，把 b 和 x，y 的平均数，代入求 a 的公式，做出 a 的值，写出线性回归方程()根据所求的线性回归方程，预报当自变量为 10 和 6 时的 y 的值，把预报的值同原来表中所给的 10 和6 对应的值做差，差的绝对值不超过 2，得到线性回归方程理想试题解析：()设抽到相邻两个月的数据为事件 A.因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 15 种情况, 每种情况都是等可能出现的，其中,抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种 ，所以 ()由数据求得 由公式求得 再由 所以 关于 的线性回归方程为 ()当 时, , ； 同样, 当 时, , 所以, 该小组所得线性回
15、归方程是理想的.点睛：求解回归方程问题的三个易误点： 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过( ， )点，可能所有的样本数据点都不在直线上 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)19. 如图，在多面体 中，四边形 是正方形， 是等边三角形，（I）求证： ；（II）求多面体 的体积.【答案】 （I）见解析；（II） .【解析】试题分析：（）取 BC 的中点 ，证明四边形 为平
16、行四边形，可得 ，从而可得平面 ，再证明 面 A1C1C，利用面面平行的判定，可得平面 平面 ，从而可得AB1面 A1C1C；（）先证明 CD平面 ADC1A1，于是多面体 ABC-A1B1C1 是由直三棱柱 ABD-A1B1C1 和四棱锥 C-ADC1A1组成的，即可得出结论试题解析：（）取 中点 ，连 ， ， 四边形 是平行四边形 ， 又 平面 ， 平面平面在正方形 中， ， ，四边形 为平行四边形又 平面 ， 平面平面， 平面 平面又 平面平面 .（）在正方形 中， ，又 是等边三角形，所以 ，所以于是又 ， 平面 ，又 ， 平面于是多面体 是由直三棱柱 和四棱锥 组成的.又直三棱柱 的
17、体积为 ，四棱锥 的体积为 ，故多面体 的体积为 .20. 已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点 （I）求椭圆 C 的方程；（II）设点 Q 在椭圆 C 上，且 PQ 与 x 轴平行，过 P 点作两条直线分别交椭圆 C 于两点 ，若直线 PQ 平分 ，求证：直线 AB 的斜率是定值，并求出这个定值【答案】 （I） ；（II ）见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率 可得 ，又椭圆过点 ，联立方程组解得 ，椭圆 的标准方程为（2）设直线 的方程为 ，联立方程组消去 ，由直线与圆锥曲线的位置关系得 ，即 因为直线 平分 ，即直线 与直线 的斜率为互为相反数，设直线 的方程为 ，同理求得
18、代入直线方程，可得即 所以直线的斜率为试题解析： 因为椭圆 的离心率为 所以 即所以椭圆 的方程可化为又椭圆 过点 所以 解得所以所求椭圆 的标准方程为由题意，设直线 的方程为 ，联立方程组消去 得：所以 ，即因为直线 平分 ，即直线 与直线 的斜率为互为相反数，设直线 的方程为 ，同理求得又 所以即所以直线的斜率为21. 已知函数 （I）当 时，求 的单调区间和极值；（II）若对于任意 ，都有 成立，求 k 的取值范围；()若 ，且 ，证明： 【答案】 （I）极小值为 ，无极大值；（II） ；（3）见解析.试题解析：（1） ， 时，因为 ，所以 ，函数 的单调递增区间是 ，无单调递减区间，无
19、极值； 当 时，令 ，解得 ，当 时， ；当 ， 所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， 在区间 上的极小值为 ，无极大值 （2）由题意， ，即问题转化为 对于 恒成立，即 对于 恒成立， 令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，故 ，故 ，所以 在区间 上单调递增，函数 要使 对于 恒成立，只要 ，所以 ，即实数 k 的取值范围为 （3）证法 1 因为 ，由（1）知，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 不妨设 ，则 ，要证 ，只要证 ，即证 因为 在区间 上单调递增，所以 ，又 ，即证 ， 构造函数 ，即 ， ，因为 ，所以 ，即 ，所以函数 在区间 上单调
20、递增，故 ，而 ，故 ， 所以 ，即 ，所以 成立 证法 2 要证 成立，只要证： . 因为 ，且 ，所以 ，即 ， ，即 ，同理 ，从而 ， 要证 ，只要证 ，令不妨设 ，则 ，即证 ，即证 ，即证 对 恒成立， 设 ， ，所以 在 单调递增， ，得证，所以 .请考生在第(22)题、(23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.22. 选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线 的极坐标方程为 ，点 . 以极点 O 为原点，以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系斜率为 的直线 l 过点 M，且与曲线 C 交于 A，B 两点.（）求出曲线 C 的直角
21、坐标方程和直线 l 的参数方程；（）求点 M 到 A，B 两点的距离之积.【答案】 （I）曲线 C 的直角坐标方程： ，直线的参数方程为 为参数)；（II）2.试题解析：（） ， ，由 得 所以 ，即为曲线 C 的直角坐标方程； 2 分点 M 的直角坐标为 ， 3 分直线 l 的倾斜角为 故直线 l 的参数方程为 （t 为参数）即 （t 为参数） 5 分（）把直线 l 的参数方程 （t 为参数）代入曲线 C 的方程得，即 ， 7 分，设 A、B 对应的参数分别为 ，则 8 分又直线 l 经过点 M，故由 t 的几何意义得点 M 到 A，B 两点的距离之积 12 分考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化； 2、参数方程； 3、参数的几何意义23. 选修 4-5:不等式选讲已知函数 ,其中（）当 时,求不等式 的解集.（）已知关于 的不等式 的解集为 ,求的值【答案】 （I） ；（II） .【解析】试题分析：（）利用零点分段法求解；（）记 ，用零点分段法写出 的解析式，然后由解集的端点值求得的值试题解析：（）当 时，当 时，由 得 ，解得 ，当 时， 无解，当 时，由 得 ，解得 ，所以 的解集是 ，（）记 ，则由 解得 ，又已知 的解集为 ，所以 于是 考点：绝对值不等式的解法
