1、2018 届湖南师大附中高三上学期月考试卷（五）数学（理）第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 52i的虚部是（ ）A i B i C1 D-12若集合 |4|2xR，非空集合 |23BxRa，若 BA，则实数 a的取值范围是（ ）A (3,) B 1,) C (1,3) D 1,33若 0q，命题甲：“ ,ab为实数，且 |2abq”；命题乙：“ ,ab为实数，满足 |2|aq，且|2|b”，则甲是乙的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件4 (,)MODab表
2、示求 除以 b的余数，若输入 34a， 85b，则输出的结果为（ ）A0 B17 C21 D345已知椭圆21xyab的离心率为 1e，双曲线21xyab的离心率为 2e，抛物线 2ypx的离心率为 3e，31log5ea， 12log()eb， 132log5ec，则 ,abc之间的大小关系是（ ）A c B a C D bca6若 ,，则函数2xy在区间 ,)内单调递增的概率是（ ）A 45 B 3 C 5 D 17下列选项中为函数 ()cos2)in64fxx的一个对称中心为（ ）A (,0)24 B ,03 C 1(,3 D (,0)128九章算术中一文：蒲第一天长 3 尺，以后逐日减
3、半；莞第一天长 1 尺，以后逐日增加一倍，则_天后，蒲、莞长度相等？参考数据： lg20.， lg3.47，结果精确到 0.1 （注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的 2 倍 ）A2.8 B2.6 C2.4 D2.29某学校有 2500 名学生，其中高一 1000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法从本校学生中抽取 100 人，从高一和高三抽取样本数分别为 ,ab若直线80axby与以 (1,)A为圆心的圆交于 ,CB两点，且 A120，则圆 C的方程为（ ）A 22(1) B 22(1)()xy C 8()17xy D 1510已
4、知 k，实数 ,xy满足约束条件4326xyk，且 yx的最小值为 k，则 的值为（ ）A 25 B 25 C 5 D 511某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ）A16 B24 C8 D1212定义在 R上的偶函数 ()fx满足 (2)(fxf，且当 1,2x时， ()ln1fx，若函数()gxfmx有 7 个零点，则实数 m的取值范围为（ ）A ln21l1lnl,)(,)686 B (, C 1ln2l,)86 D ln21l(,)68第卷二、填空题，本大题共 4 小题，每小题 5
5、 分，共 20 分13若二次函数 2()fxabc有两个零点 1x、 2，则 12()(fxax，类比此，若三次函数32()gxabcd有三个零点 1、 2、 3，则 g 14若 5os)x的展示式中 3x的系数为 4，则 sin()2 15如图所示，在棱长为 6 的正方体 1ABCD中，点 ,EF分别是棱 1CD， 1B的中点，过 A，E， F三点作该正方体的截面，则截面的周长为 16已知向量 ,ab夹角为 3， |2b，对任意 xR，有 |bxa，则 |()2atbttR的最小值是 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17某城市随机抽取一年（365 天）内 10
6、0 天的空气质量指数 API（Air Pollution Index ）的监测数据，结果统计如下： API0,5(0,1(0,15(0,2(0,25(0,3大于 300空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染重度污染天数 10 15 20 30 7 6 12（）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 7 天为重度污染，完成下面 2列联表，并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？非重度污染 重度污染 合计供暖季非供暖季合计 10020P(K)k0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0011.323 2.
7、072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828附：22()(nadbc（）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当 API在区间 0,1时企业正常生产；当 API在区间 (10,2时对企业限产 30%（即关闭 30的产能） ，当 在区间 (2,3时对企业限产 50%，当API在 300 以上时对企业限产 8，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润 2 万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：在这一年中随意抽取 5 天，求 5 天中企业被限产达到或超过 50%的恰为 2 天的概率；求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值18已知锐角 ABC的三
8、个内角 A、 B、 C满足 sin222(sinisin)taBCA（）求角 的大小；（）若 的外接圆的圆心是 O，半径是 1，求 ()A的取值范围19已知直角梯形 ABCD中， /， BD， 2CD， E、 F分别是边 AD、BC上的点，且 /EF，沿 将 EFC折起并连接成如图的多面体 AB，折后 E（）求证： AEFC；（）若折后直线 与平面 BE所成角 的正弦值是 3，求证：平面 ABCD平面 F20如图，已知曲线 21:4yx，曲线2:1(0)xyCab的左右焦点是 1， 2，且 就是 1C的焦点，点 P是 1C与 2的在第一象限内的公共点且 25|3PF，过 2的直线 l分别与曲线
9、 、 交于点 ,AB和,MN（）求点 P的坐标及 2C的方程；（）若 1FAB与 1MN面积分别是 1S、 2，求 12的取值范围21已知函数 2()lnfxax， ()xge（ 为自然对数的底数） （）当 0,时，求 ()的最小值；（）若函数 ()fx恰有两个不同极值点 12,x求 a的取值范围；求证： 21xe请考生在（22） 、 （23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线 1C的方程是 22(13sin)16，点 P是 1C上的动点，点 M满足 2OP（ 为极点） ，点 M的轨迹为曲线 2，以极点 O为原点，极轴为 x轴
10、的非负半轴建立平面直角坐标系 xy，已知直线 l的参数方程是 3xty， （ 为参数） （）求曲线 2C直角坐标方程与直线 l的普通方程；（）求点 M到直线 l的距离的最大值23选修 4-5：不等式选讲（）已知函数 ()|2|1|fxx解不等式 2()fx；（）已知 ,yz均为正数求证： 1yzyz试卷答案一、选择题1-5:CDBBD 6-10:BABCC 11、12：AA二、填空题13 123()()axx 14 15 15 6132 16 7三、解答题17 【解析】 （）根据以上数据得到如下列联表：非重度污染 重度污染 合计供暖季 23 7 30非供暖季 65 5 70合计 88 12 1
11、002210(6573)5.13.8480K，所以有 9%的把握认为空气重度污染与供暖有关（）设“在本年内随机抽取一天，该天企业被限产达到或超过 50%”为事件 A，据题意有频数为 25， 251()04PA，则这一年中随意抽取 5 天，5 天中被限产达到或超过 50的恰为 2 天的概率 P是：2351()42PC企业甲这一年的利润的期望值为 75036(2101132)50.970万元，故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是 62.3万元18 【解析】 （）由已知有：22sin1cobaA，即 1sin，又 A是锐角， 6（） ()(2)OBCAOBC2coscsA2CB5s()os23c
12、o2ins()6B， AC是锐角三角形， 2BA32B，则 5766B，故 ()OB的取值范围是 7,)另法：设 M是边 C的中点， (2OBCAM，又 2OMAO2AMOA，21，据正弦定理得 2sinBC，则 3|2， A是锐角三角形，当 或 取临界值 时 |A最小值是 132，当 M时 |最大值是 312则 13|(,2， 24OA73,)219 【解析】 （） /EFAB， D， EFD， ，又 B， ， 平面 A， E，又 EF， F， 平面 CD， （）由（）知，可如图建立空间直角坐标系，作 HEF于 ，连 AH，由（）知 CABFE，即 A为 与平面 BFE所成角，设 DHh，
13、221()45h，而直线 C与平面 所成角的正弦值是 3，即 2145（或：平面 ABFE的法向量是 (0,1)， (,)Ch， (,0)A， (2,)Ch，则 223sin| |1()h） 易知平面 ABCD平面 E于 AD，取 的中点 M，则 E平面 ABD，而 E，则平面 的法向量是 1(,0)2E，（或另法求出平面 的法向量是 1,)n） ，再求出平面 FCB的法向量 2(,)，设二面角 ABCF是 ，则 12|01|cos6n，平面 D平面 20 【解析】 （） 2(1,0)F，设 0(,)Pxy，据题意有 205|13PFx，则 03x， 6,P，点 在椭圆上及 2F就是 1C的焦
14、点，则2149ab，解之得：243ab，所以 2C的方程是 43xy或由 12|PFa计算出 2，从而得方程（）易知 2|SABMN，当 l不垂直于 x轴时，设 l的方程是 (1)0ykx，联立 2(1)4ykx，得 222(4)0kxk， 241()，设 1(,)A， 2(,)By，则 12，212(1)| kABx；联立 2340ykx得： 2(34)840kxk，226()2(1)()，设 3,)Mxy， 4,Nxy，则248k，234k， 222431()|(1)kxx，（或23|(Nae）则21 22|3414(,)3SABkMN，当 l垂直于 x轴时，易知 |AB，2|3bMNa，
15、此时 12|43SABMN，综上有 12S的取值范围是 4,)3设 :lxmy类似给分21 【解析】 （） ()2xge， ()2xge， 0,)，所以 ()gx在 0,ln上单调递减，在 ln,上单调递增，min2(1l)0，即 0,)x时，恒有 2xge，故 (g在 ,上单调递增， min()(0)1g（） )2lnfxax，要 f恰有两个极值点，等价于 (h在 (0,)上恰有两个不同零点1)2xxa，当 0时， ()0h在 (,)恒成立， ()hx在 0,)上单调递减，不合要求；当 a时， x在 1,2a上单调递减，在 1,2a上单调递增，而 1()ln()2h，由 ()ln()0he，
16、 ea，122aa，此时 ()0h，111222()()0ahee，故当 2时， lngxx在 (0,)与 ,上各恰有一个零点，即当 10ae时函数 ()f有两个极值点另法：考查 lnx不妨设 120x，则有： 12lnxa，两式相加与相减得：1212ln()()xax，1212ln()lnx，而 2112ln()xex，121lx，令 12(0,)tx，ln()ln()ttt， 2(1)(0,1)ln0tt， (,1)t，考查函数 21)lgtt， ,t， 2()tg恒成立于 ,，()x在 0,1上单调递增，则恒有 ()10t即 2)lnt， (0,1)t成立，故命题得证22 【解析】 （）
17、设在极坐标系中 (,)M，据 2OPM有 (,)，代入 1C的方程 22(3sin)16整理得： 2(13sin)4，再化为直角坐标方程是： 4xy即为所求直线 l的参数方程 32t， （ 为参数）化为普通方程是 260xy（）由2:14xCy知，在直角坐标系中设 (cos,in)M， aR，点 M到直线 l的距离 |cosin6|176|55ad， max17685d23 【解析】 （）函数 ()|2|1|fxx3()2,12x） ，当 1x时，不等式为 23， 3，即 ；当 2时，不等式为 1xx，解得 1x，即 1x；当 时，不等式为 2， 综合上述，不等式的解集为： ,（）证明：因为 ,xyz都为正数，所以 12()xyxzz同理可得 xzy2yz当且仅当 xyz时，以上三式等号都成立将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得： 1zyxyz或直接用柯西不等式证明： 222()()()xyzzx222()()()xyyz21()zx，即 1yzxz或要证 zyxz即证 22xyzxzy，再证 222()()()0xz显然成立
