1、2018 届湖南师范大学附属中学高三上学期月考（五）理科数学试题（解析版）第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 复数 的虚部是（ ）A. B. C. 1 D. -1【答案】C【解析】 ,所以虚部为 1.点睛: 本题主要考查了求复数的虚部,属于易错题. 对于复数 ,实部为,虚部为 , 不是 .做错的原因是基础不牢靠.2. 若集合 ，非空集合 ，若 ，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 集合 ，由集合 不为空集可得 ，即 ，由 得 ，解得 ，故选 D.3. 若 ，命题甲 ：“ 为实数
2、，且 ”；命题乙：“ 为实数，满足 ，且 ”，则甲是乙的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】若 为实数，且 ，则取 时，不满足 且 ，若 为实数，满足，且 ，则 ，所以甲是乙的必要而不充分条件,故选B.4. 表示求除以 的余数， 若输入 ， ，则输出的结果为（ ）A. 0 B. 17 C. 21 D. 34【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得 ，不满足条件 ，不满足条件 ， ，满足条件 ，退出循环，输出的值为 ，故选 B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意
3、以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 已知椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，抛物线 的离心率为 ， ， ，则 之间的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意， ， ，又，故选 D.【 方法点睛】本题主要考查函数的圆锥曲线的离心率、指数函数的性质、对数函数的性质及比较大小问题，
4、属于难题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6. 若 ，则函数 在区间 内单调递增的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 函数 在区间 内单调递增， ，在 恒成立，在 恒成立， ， 函数 在区间 内单调递增的概率是 ，故选 B.7. 下列选项中为函数 的一个对称中心为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 ，令 ，求得 ，可得函数的对称轴中心为，当 时，函数的对称中心为 ，故选 A.8. 九章算术中一文：蒲第一天长 3 尺，以后逐日减半；
5、莞第一天长 1 尺，以后逐日增加一倍，则_天后，蒲、莞长度相等？参考数据： ， ，结果精确到 0.1 （注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的 2 倍 ）A. 2.8 B. 2.6 C. 2.4 D. 2.2【答案】B【解析】设蒲的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ，莞的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ，则 ，由题意可得 ，化为 ，解得 （舍去） ， 估计 天后，蒲、莞长度相等，故选 B.9. 某学校有 2500 名学生，其中高一 1000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法从本校学生中抽取 100
6、人，从高一和高三抽取样本数分别为 若直线与以 为圆心的圆交于 两点， 且 ，则圆 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】按照分层抽样的特点,高一高二高三抽取的人数分别为 .所以 ,直线方程为,即 ,圆心 到直线的距离 ,由于 ,所以圆的半径 ,故圆的方程为 ,选 C.10. 已知 ，实数 满足约束条件 ，且 的最小值为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】画出不等式组 表示的区域如图，因为 的几何意义是区域内的动点 与连线的斜率，所以结合图形可以看出点 与定点 连线的斜率最小，其最小值为 ，解之得： ，所以 ，应选答案 C。11. 某班上午有五节课，分
7、别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ）A. 16 B. 24 C. 8 D. 12【答案】A【解析】根据题意，分 3 步进行分析：要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有 种况；将这个整体与英语全排列，有 种顺序，排好后，有 3 个空位；数学课不排第一节，有 2 个空位可选.在剩下的 2 个空位中任选 1 个，安排物理 ，有 2 种情况，则数学、物理的安排方法有种，则不同排课法的种数是 种，故选 A.12. 定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，若函数 有 7 个零点，则实数 的取值
8、范围为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 有 个零点，即函数 的图象与 有 个交点，当 时，此时 单调递减，且 ，由 知函数图象关于对称，而 是定义在 上的偶函数， ，故 ，即 是周期为 的函数，易知 ，当 时，作出函数 与 的图象，如图所示，则要使函数 的图象与的图象有 个交点，需有 ，即 ，解得 ，同理，当 时，可得 ，综上所述，实数 的取值范围是 ，故选 A.【方法点睛】已知函数零点(方程根 )的个数，求参数取值范围的三种常用的方法： (1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加
9、以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .第卷二、填空题，本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 若二次函数 有两个零点 、 ，则 ，类比此， 若三次函数有三个零点 、 、 ，则 _【答案】【解析】若二次函数 有两个零点 ，则 ，类比此，若三次函数有三个零点 ，则 ，故答案为 .14. 若 的展示式中 的系数为 4，则 _【答案】【解析】由二项式定理得， 的系数为 ， ，故 ，故答案为
10、 .【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 如图所示，在棱长为 6 的正方体 中，点 分别是棱 ， 的中点， 过 ， ， 三点作该正方体的截面，则截面的周长为 _【答案】【解析】如图，延长 相交于 ，连接 ，交 于 ，延长 相交于 ，连接 交 于 ，可得截面五边形 ， 是边长为 的正方体，且 分别是棱 的中点， ， 截
11、面的周长为 ，故答案为 .16. 已知向量 夹角为 ， ，对任意 ，有 ，则 的最小值是_【答案】【解析】向量 夹角为 ，对任意 ，有 ，两边平方整理可得 ，则，即有 ，即 ，则 ，由向量 夹角为 ，由，即有 ，则 ，画出 ， ，建立平面直角坐标系，如图所示，则 ，表示 与的距离之和的 倍，当 共线时，取得最小值 ，即有，故答案为 .三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 某城市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数 （Air Pollution Index）的监测数据，结果统计如下：大于 300空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染中度
12、重污染重度污染天数 10 15 20 30 7 6 12（）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 7 天为重度污染，完成下面 列联表，并判断能否有 的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？非重度污染 重度污染 合计供暖季非供暖季合计 1000.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0011.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828附：（）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当 在区间 时企业正常生产；当 在区间时对企业限产 （即关闭 的产能） ，当 在区间 时对企业限产 ，当 在
13、300 以上时对企业限产 ，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润 2 万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：在这一年中随意抽取 5 天，求 5 天中企业被限产达到或超过 的恰为 2 天的概率；求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值【答案】 （）见解析；（） 万元【解析】试题分析：（）根据表格中的数据可完成 列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据得出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论；（II）根据古典概型概率公式可得“在本年内随机抽取一天，该天企业被限产达到或超过 ”的概率为 ，利用独立重复试验概率公式可得这一年中随意抽取 天， 天中被限产达到或超过 的恰为 天的概率，根
14、据期望公式可得企业甲这一年的利润的期望值为 万元.试题解析：（）根据以上数据得到如下列联表：非重度污染 重度污染 合计供暖季 23 7 30非供暖季 65 5 70合计 88 12 100，所以有 的把握认为空气重度污染与供暖有关（）设“在本年内随机抽取一天，该天企业被限产达到或超过 ”为事件 ，据题意有频数为 25， ，则这一年中随意抽取 5 天，5 天中被限产达到或超过 的恰为 2 天的概率 是：企业甲这一年的利润的期望值为万元，故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是 万元【方法点睛】本题主要考查列联表、古典概型概率公式、离散型随机变量的期望以及独立性检验的应用，属于难题. 独立性检验的
15、一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）18. 已知锐角 的三个内角 、 、 满足 （）求角 的大小；（）若 的外接圆的圆心是 ，半径是 1，求 的取值范围【答案】 （） （） 【解析】试题分析：（）由 ，根据正弦定理可得 ，再根据余弦定理可得 ，从而可求角 的大小；（）根据向量减法的三角形法则及平面向量的数量积公式可得 ，根据 是锐角三角形，可得，再由三角函数的有界性可得结果.试题解析：（）由已知有： ，即 ，又 是锐角， （），
16、 是锐角三角形， ，则 ，故 的取值范围是 另法：设 是边 的中点， ，又 ，据正弦定理得 ，则 ， 是锐角三角形，当 或 取临界值 时 最小值是 ，当 时 最大值是 则 ，19. 已知直角梯形 中， ， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且 ，沿 将 折起并连接成如图的多面体 ，折后 （）求证： ；（）若折后直线 与平面 所成角的正弦值是 ，求证：平面 平面 【答案】 （）见解析；（）见解析.【解析】试题分析：（）由 ， 可得 平面 ，从而 ，结合 ，根据线面垂直的判定定理可得； 平面 ，所以 ；（ ）作 于 ，连 ，由（）知，即 为 与平面 所成角，设 ， ，而直线与平面 所成角的正弦值是
17、 ，即 ，以 为轴建立坐标系，取 的中点 ，先证明平面 的法向量是 ，再利用向量垂直数量积为零可得平面 的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.试题解析：（） ， ， ， ，又 ， ， 平面 ， ，又 ， ， 平面 ， （）由（）知，可如图建立空间直角坐标系，作 于 ，连 ，由（ ）知 ，即 为 与平面 所成角， 设 ， ，而直线 与平面 所成角的正弦值是 ，即 （或：平面 的法向量是 ， ， ， ，则 ）易知平面 平面 于 ，取 的中点 ，则 平面 ，而 ，则平面 的法向量是 ，（或另法求出平面 的法向量是 ），再求出平面 的法向量 ，设二面角 是 ，则 ，平面 平面 20. 如图，已
18、知曲线 ，曲线 的左右焦点是 ， ，且 就是 的焦点，点 是与 的在第一象限内的公共点且 ，过 的直线分别与曲线 、 交于点 和 （）求点 的坐标及 的方程；（）若 与 面积分别是 、 ，求 的取值范围【答案】 （） （） 【解析】试题分析：（）由 ，设 ，据题意有 ，可求出点 的坐标，将点 的坐标代入椭圆方程，结合 ，列方程组，解出 的值即可得结果；（）易知 ，当不垂直于轴时，设的方程是 ，联立 ，得 ，根据韦达定理以及抛物线焦半径公式可得 ，联立 得： ，根据韦达定理及弦长公式可得 ， ，结合斜率不存在的情况可得结果.试题解析：（） ，设 ，据题意有 ，则 ， ，点 在椭圆上及 就是 的焦
19、点，则 ，解之得： ，所以 的方程是 或由 计算出 ，从而得方程（）易知 ，当不垂直于 轴时，设的方程是 ，联立 ，得 ， ，设 ， ，则 ， ；联立 得： ，设 ， ，则 ， ，（或 ）则 ，当垂直于 轴时，易知 ， ，此时 ，综上有 的取值范围是 设 类似给分21. 已知函数 ， （为自然对数的底数）（）当 时，求 的最小值；（）若函数 恰有两个不同极值点 求的取值范围；求证： 【答案】 （）见解析；（） ，见解析.【解析】试题分析：（）求出 ，令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间，根据单调性可得 的最小值；（） 恰有两个极值点，等价于 在上恰有两个不同零
20、点 ，当 时， 在 恒成立， 在 上单调递减，不合要求；当 时，研究函数的单调性结合零点存在定理可得的取值范围，不妨设 ，则有： ，可得 ，令 ，原不等式等价于 ， ，验证函数 的最大值小于零即可得结论.试题解析：（） ， ， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，即 时，恒有 ，故 在 上单调递增， （） ，要 恰有两个极值点，等价于 在 上恰有两个不同零点，当 时， 在 恒成立 ， 在 上单调递减， 不合要求；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，而 ，由 ， ， ，此时 ， ，故当 时， 在 与 上各恰有一个零点，即当 时函数 有两个极值点另法：考查不妨设 ，则有： ，两式相加与相
21、减得 ： ，而 ，令 ， ， ，考查函数 ， ， 恒成立于 ，在 上单调递增，则恒有 即 ， 成立，故命题得证请考生在（22） 、 （23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中曲线 的方程是 ，点 是 上的动点，点 满足 （ 为极点） ，点 的轨迹为曲线 ，以极点 为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系 ，已知直线的参数方程是，（为参数 ）（）求曲线 直角坐标方程与直线的普通方程；（）求点 到直线的距离的最大值【答案】 （） , （） 【解析】试题分析：（）直接利用 可得到曲线 直角坐标方程，利用代入法消去参数即可得到直
22、线的普通方程；（）在直角坐标系中设 ，点 到直线的距离，利用三角函数的有界性可得点 到直线的距离的最大值.试题解析：（）设在极坐标系中 ，据 有 ，代入 的方程 整理得： ，再化为直角坐标方程是： 即为所求直线的参数方程 ，（为参数）化为普通方程是 （）由 知，在直角坐标系中设 ， ，点 到直线的距离 ， 【名师点睛】本题考查直线的参数方程和普通方程的转化、椭圆极坐标方程和直角坐标方程的转化、椭圆参数方程的应用以及点到直线距离公式，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方
23、程，只要将 和 换成 和 即可.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.23. 选修 4-5：不等式选讲（）已知函数 解不等式 ；（）已知 均为正数求证： 【答案】 （） （）见解析；【解析】试题分析：（）对 分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（）先利用基本不等式证明 ，直接用柯西不等式证明：，即 再利用分析法证明： 即证 ，再证 ，从而可得结论.试题解析：（）函数 ，当 时，不等式为 ， ，即 ；当 时，不等式为 ，解得 ，即 ；当 时 ，不等式为 ， 综合上述，不等式的解集为： （）证明：因为 都为正数，所以 同理可得 当且仅当 时，以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得： 或直接用柯西不等式证明：，即 或要证 即证 ，再证
