1、2017 年高三学年期末考试 数学文科试题一、选择题（每小题 5 分，满分 60 分）1、若集合 |0Bx，且 AB，则集合 A可能是（ ） A ,2 B |1x C 1,0 D R2、已知复数 z满足 (1)5izi，则 z（ ）A、 3i B. 23 C. 32i D. 32i3、下列抛物线中，焦点到准线距离最小的是( )A、 xy2 B. xy C. yx D. yx44、在平面区域 ,012， 内随机投入一点 P，则点 的坐标 ,满足 2x的概率为( ）A. 14 B. 2 C. 3 D. 345、阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A、7 B、9 C、10
2、 D、116、下列四个判断：某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是 m和 n，某次数学测试平均分分别是 ,ab，则这两个班的数学平均分为 2ab； 从总体中抽取的样本 (1,.5),3.(4,.9)5,.，则回归直线 ybx必过点 (3,.6)；在频率分布直方图中，众数左边和右边的所有直方图的面积相等. 其中正确的个数有( )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个7、已知变量 满足： ，则 的最大值为（ ）,xy203xy2xyzA B C2 D4228、已知 ,0，且 10)4sin(，则 tan（ ）A、 43 B、 34 C、 724 D、 7249、某几何体的三视图如
3、图所示，则该几何体的表面积积是( )A. 23 B. 2 C. 3 D. 23 10、已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 ，则“ ”是“ 的最小值仅为annSd10a35dnS”的（ ）6SA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件11、长方体 的 8 个顶点都在球 的表面上， 为 的中点， ，935cosACE,且四边形 为正方形，则球 的直经为( ) A、4 B、6 C 、4 或 D、6 或 5312、已知 21F， 分别是双曲线 : )0(1-2babyx， 的左右焦点， G是双曲线 C上一点，且满足 0721G，则 经过第一象限的渐近线的斜率的取值范
4、围是（ ）A、 3(， B、 25(， C、 352(， D、 312(， 二、填空题（每题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸的横线上）13、抛物线 23yx与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 14、在平面直角坐标系内, 点 0,Pxy到直线 :0lAxByC的距离 02AxByCd. 运用类比的思想，我们可以解决下面问题: 在空间内直角坐标系内, 点 2,1P到平面 34120xyz的距离 d _. 15、数列 na中，满足 1321na ，则 naa2 16、已知 ABC的内角 , , 的对边分别为 a， b， c，若 1a， bcC2os，则 的外接圆的面积是 .
5、三、解答题：17.(本小题满分 12 分)已知函数 0cos23sinxxf 的周期为 4.(1)求 的解析式；(2)将 xf的图象沿 轴向右平移 3个单位得到函数 xg的图象， QP,分别为函数 xg图象在 y轴右侧的第一个最高点和最低点，求 OQP的大小18、 （本题满分 12 分）某学校高三年级有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成 5 组：100， 110)，110，120)，120 ，130)，1
6、30，140)，140，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于 130 分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成一个 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附：22()()()nadbcKd，19、 （本小题满分 12 分）P(K2k0) 0.100 0.050 0.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.828如图所示的几何体 QPABCD为一简单组合体，在底面 ABCD中， DCA,60，BA， 平面 ， 1
7、,/PQ， 2Q.（1）求证：平面 平面 ；（2）求该组合体 QPACD的体积.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 2:10xyCab的离心率为 35，过左焦点 F且垂直于长轴的弦长为 325（1）求椭圆 的标准方程；（2）点 ,0Pm为椭圆 的长轴上的一个动点，过点 P且斜率为 4的直线 l交椭圆 C于 BA,两点，证明：2AB为定值21、 （本小题满分 12 分）已知定义在正实数集上的函数 2()41fxa， 2()6ln1gxab，其中 0a（1）设两曲线 ()yf， g有公共点，且在该点处的切线相同，用 表示 ，并求 b的最大值；（2）设 ()()hxfx，证明：若 31a，则对任
8、意 1x， 2(0,)， 12x 有21()8hx请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22 （本题满分 10 分）选修 44：坐标与参数方程以直角坐标系的原点 O为极点, x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线 l的参数方程为 sin1cotyx（ t为参数 0), 曲线 C的极坐标方程为 2cos4in.(1) 求直线 l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;（2）设直线 与曲线 C 相交于 ,AB两点, 当 变化时, 求 AB的最小值.23 （本题满分 10 分）选修 45：不等式
9、选讲已知 为正实数 .,ab（1）求证： ；2ab（2）利用（1）的结论求函数 的最小值.2(1)(01)xyx2017 年高三期末考试 数学文科试题答案一、选择题：1A 2B 3C 4A 5B 6A 7D 8C 9B 10B 11C 12A二、填空题：13、 22(1)()5xy 14、2 15、 )31(4n 16、 3三、解答题： 17.解 (1) f(x) sinx cosx32 32 3(12sin x 32cos x) 3(sin xcos 3 cos xsin 3) sin .3 ( x 3)T 4，0， .24 2f(x) sin 6 分3 ( 2x 3)(2)将 f(x)的图
10、象沿 x轴向右平移 个单位得到函数 g(x) sin .23 3 ( 2x)P，Q分别为该图 象的最高点和最低点，P(1， )，Q(3， )3 3OP2 ，PQ4 ，OQ . 12cosOQP .OQ2 PQ2 OP22OQQP 32OQP 12 分 618.解：（1）由已知得，抽取的 100 名学生中，男生 60 名，女生 40 名分数小于等于 110 分的学生中，男生人有 600.05 = 3(人) ，记为 A1，A 2，A 3；女生有 400.05 = 2(人)，记为 B1，B 2 从中随机抽取 2 名学生，所有的可能结果共有 10 种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(
11、 A2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2) ,其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有 6 种，它们是：(A1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，( A3，B 1)，(A 3，B 2)， 所求的概率 530P （2）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 名学生中，男生 600.25 = 15(人)，女生 400.375 = 15(人) 据此可得 22 列联表如下：数学尖子生 非数学尖子生 合计男生 15 45 60女生 15 25 40合计 3
12、0 70 100得2k的一个观测值 k786.103460)5215(21.786 2.706.没有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”19.解析：（1）证明： ODABC平 面 ， PQD ， ABCD平 面 ，又 BCA平 面 ， ，又 ， P平 面 ， 平 面 ， ， 平 面 ，又 BCQ平 面 ，平面 A平 面 .（2）连接 BD，过 作 OAD于 ， P平面 C， BC平 面 ， A，又 BO， PAQ平 面 ， PADQ平 面 ， A， D平 面 ， 2A， 60B， B 是等边三角形， 3BO. 112333BPDQPADQVSO梯 形 . 90C， 0CD，又 2A， 2
13、， sin23BD . QDA平 面 ， 11239QCBCDVS .该组合体的体积 9BPAD.20、 （1）由2354ceabbc，可得椭圆方程2156xy 4 分（2）设 l的方程为54xym，代入2156xy并整理得：225080y 6 分设 12,AxBy，则21212854,5myy，又因为 1116Pm，同理26PB 8 分则222 221112165444416 5mAByyy，所以2P是定值 12 分21、解（1） 设 ()fxg与 交于点 0(,)Pxy，则有00()fx，即 220416ln1ab（ 1）又由题意知 )()(00xgf，即2004ax（2） 2 分由（2）
14、解得 003)a或 舍 去将 0x代入（1）整理得 25lnba 4 分令 25()lnh，则 )31()ah30,ae时， a递增， 3(,e时 递减，所以 ()h233e即 b23， 的最大值为236 分（2）不妨设 2121,0,xx，要证明 812xh只需变形得 1288xhxh 8 分即 令 T)(， 846)(2aT， 13， 08)(34862)(2ax10 分即 T在 ,0内单调增， )(12xT， 所以若 31a，则对任意 1x， 2(0,)，12x有 21()8hx 12 分22、解:(1) 由消去 t得 l的普通方程 0cossinyx, 由 2cos4i, 得 2co4in, 把 sxy代入上式, 得 yx,所以曲线 C 的直角坐标方程为 2. (2) 将直线 l 的参数方程代入 yx4, 得 04sinco2tt , 设 A、B 两点对应的参数分别为 12, 则 2121cos.cosin4tt所以 121212()4ABttt2cos当 cos2时， 的最小值为 423、解：（1） ，,0ab .()a2)3222()abab ，当且仅当 时等号成立 2b（2） ， ，由(1)的结论，函数 .01x0x2(1)(1)xyx当且仅当 ，即 时等号成立1x12函数 ( )的最小值为 .2()y0x1
