1、2017 届湖南省新考纲下的高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|log0Mx， 2|4Nx，则 MN（ ）A 1,2 B , C 1, D 0,22.已知 i为虚数单位，设复数 iz，则 z的虚部为（ ）A B 2i C2 D-23.已知双曲线 210xya的实轴长为 4，则双曲线的渐近线方程为（ ）A y B 2x C 1yx D 12yx 4.在等比数列 na中， 218,是方程 640的两根，则 4160a（ ）A6
2、B2 C.2 或 6 D-25.设实数 log3， 13l2b， 01sincxd，则（ ）A abc B a C.bac D bca6.执行如下程序，输出 S的值为（ ）A 10725 B 10827 C. 20167 D 2015437.函数 xef:的大致图象是（ ）A B C. D8.如图，边长为 1 的网格上为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 213 B 423 C. 43 D 439.2016 年 11 月 16 日18 日，备受世界瞩目的第三届世界互联网大会在浙江乌镇召开，会议期间，组委会将 ,CDEF这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作，若要求 AB、 必
3、须相同，且每组至少 2 人，则不同的分配方法有（ ）A18 种 B20 种 C. 22 种 D以上都不对10.设抛物线 24xy的焦点为 F，准线为 l， P为抛物线上的一点，且 PAl， 为垂足，若直线F的倾斜角为 135，则 P（ ）A1 B 2 C.2 D 211.已知 PC是正三棱椎，其外接球 O的表面积为 16，且 30APOBCP，则三棱锥的体积为（ ）A 534 B 934 C. 3 D 212.若函数 11sincos422fxxaax在区间 0,上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ）A 10,7 B 16,09 C. 1,7 D ,0第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5
4、 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式 3nxN的展开式中第 3 项与第 4 项的二项式系数最大，则展开式中含 x项的系数为 14.已知菱形 ABCD的中心为 O， 3BAD， 1，则 OABD:等于 15.意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,114,233，即 1Fx， 123,nFnN，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被 3 整除后的余数构成一个新数列 nb，则 2017 16.已知 ,xy满足约束条件,41,yx，若不等式 22mxy恒成立，则实数 m的最
5、大值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）设锐角 ABC中，角 、 、 的对边分别为 abc、 、 ，且 2是 sincoaAC与 sin2A的等差中项.（）求角 的大小；（）若 2a，求 面积的最大值 .18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中， 平面 ABCD， 于点 O， E为线段 PC上一点，且ACE.（）求证： OE平面 ABCD；（）若 /B， 2， 2， 3PA，且 BCD，求二面角 PA的余弦值.19.（本小题满分 12 分）某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路
6、车速情况，于某个时段随机对 100 辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值 85，标准差 2.，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于 3或车速大于 是需矫正速度.（）从该快速车道上所有车辆中任取 1 个，求该车辆是需矫正速度的概率；（）从样本中任取 2 个车辆，求这 2 个车辆均是需矫正速度的概率；（）从该快速车道上所有车辆中任取 2 个，记其中是需矫正速度的个数为 ，求 的分布列和数学期望.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 2:10xyCab的一个顶点坐标为 0,1，离心率为 2.（）求椭圆 的标准方程；（）若点
7、P是椭圆 上的动点（不在 x轴上），过右焦点 2F作直线 2P的垂线交直线 :2lx于点 Q.判断点 运动时，直线 Q与椭圆 C的位置关系，并证明你的结论.21.（本小题满分 12 分）已知函数 ln,axfbR的图象在点 1,f处的切线方程为 1yx.（）求实数 ,的值及函数 f的单调区间；（）当 1212fxfx时，比较 12x与 e（ 为自然对数的底数）的大小.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 :10lxy，以原点 O为极点， x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲
8、线C的极坐标方程为 24sin5.（）将直线 l写成参数方程 1cosixty（ t为参数， 0,）的形式，并求曲线的直角坐 C标方程；（）设直线 l与曲线 C交于点 ,AB（点 在第一象限）两点，若点 M的直角坐标为 1,0，求OMA的面积.23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 1fxmxR.（）若 ，求函数 f的值域；（）若 2m，解不等式 3fx.试卷答案一、选择题1. A 【解析】集合 2|log0|1Mxx， 2|4|2Nxx，因此 MN1,2.故选 .2.C 【解析】 1izi，故 2zi，其虚部为 2.故选 C.3.D 【解析】实轴长 24a，故 ，因
9、此渐近线方程为 12byxa，故选 D.4.B 【解析】因为 18,是方程 260x的两根，所以 2186， 184:，所以 20a，180a，又数列 na为等比数列，所以 10a，所以 10218a，所以24610，故选 B.5. A 【解析】 2log3a， 133logl22b，且 33log2l1b，易求得01cs|xo2，故 abc，故选 A.6.B 【解析】依题意可得 111135207235207S 10827，故选 .7.C 【解析】由题得， 221xxef fe:，所以不选 ,AD项.当 0x时， y，故排除 B项.故选 .8. 【解析】依据三视图，知所求几何体是底面为等腰直
10、角三角形的三棱锥和一个半圆锥的组合体，故其体积为 21142333V ，故选 B.9.C 【解析】分组的方案有 2、4 和 3、3 两类.第一类有 241CA种不同的分配方法；第二类有13248A种不同的分配方法，故共有 48N种不同的分配方法，故选 C.10. 【解析】 PF中， PA，抛物线焦点到准线的距离 2p，故 sin45AF.所以2F，又 5，所以 cos45AF，故选 .11.B 【解析】如图，设 ABC的中心为 S，易知球 O的半径 2R，设 ABC的边长为 2a， APOBCP30， 2OP， 3B ， 21SOS， 3S，OSB 中， 233aR，解得 2a， 3 ，三棱锥
11、 PABC的体积21sin603V94.故选 B.12.D 【解析】 1cos23incos41fxaxax. sin23cosinfxax1a，依题意，函数 f在区间 ,04上为减函数，故2sinco+3sincofxxax40a恒成立，因此 2isi40xa在区间 ,04上恒成立，令 sintxcos2in0,14x，因此 23,1gtt，若 gt对 ,1t恒成立，即23ta，因为 3t，故24ta恒成立，即2min4ta，设234t，则t23804t，故 t在区间 0,1上单调递增，所以 min0t，所以 0a.故选 D.二、填空题13.90 【解析】依题意知 5n，53x的通项公式为
12、52153rrTCx，令 1r，得 2，故含 x项的系数为 23590TC. 14. 2 【解析 】 313coscos62OABDBAAB:. 15.1 【解析】斐波那契数列的前几项为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，则数列 nb的前几项为 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，因此数列 nb是周期数列，其周期为 8，因此 2017. 16.85 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图 .令 0ytx，可知 t为点 0,与可行域内点的连线的斜率，由图知 t的取值范围是 1,3，即 ytx1,3. 22mx
13、y恒成立 2minxy，又 222xyxy1t，而当 1,3tx时， 102,3t，故 28,5t，因此 85m.所以实数 的最大值是 85.三、解答题 0,B， sin0B .1sin2A.又 为锐角， 6 .（） 222cos323abAbcbc，43c，当且仅当 62b时，取等号.ABC的面积 11sin42323ScA.即 面积的最大值为 3（当且仅当 6bc时，等号成立）.18.解：（） ACBD， E， B，平面 E，O平面 ，.又 PA平面 BCD， A平面 BCD，.又 ,OE都是平面 P中的直线，/.又 PA平面 BCD，平面 .（） /， 2， 2A，且 ，ABCD， CB
14、D ，又 ，在 O中， 1，同理， 2.由（），知 E平面 ABCD，以 O为坐标原点，分别以 ,OBCE所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系 xyz，则 1,0B， ,10C， 2,0D， ,23P.则 2D， 3P.设平面 的一个法向量为 ,nxyz，则 0,nCP:，即 03,yz，取 1x，则 2，即 12n.取棱 BC的中点 M，连接 O.易证得 平面 PAD.平面 的一个法向量为 1,02.易知二面角 C所成的平面角为锐角，cos,6OMn:，二面角 CPDA的余弦值为 2.19.解：（）记事件 为“从该快速车道上所有车辆中任取 1 个，该车辆是需矫正速度”.因为 3
15、78.4， 289.4，由样本条形图可知，所求的概率为 3278.49.4PAxPxPxx102.（）记事件 B为“从样本中任取 2 个车辆，这 2 个车辆均是需矫正速度”.由题设可知样本容量为 100，又需矫正速度个数为 5 个，故所求概率为 251049CPB.（）需矫正速度的个数 服从二项分布，即 12,0B:，022193614PC，12020，294PC，因此 的分布列为由 12,0B:，知数学期望 120E.20.解：（）由题意得 b，所以221cea，因此 2a，所以椭圆 C的标准方程为21xy.（）易知 21,0F.设点 0Pxy， 2,Qt，则220001x，由 2FP:，得
16、 01,0xyt，所以 0t，所以直线 PQ的方程为00012xy，即 20011xyy，将 2200代入化简，得 01xy，即 0xy，代入椭圆方程 2，得 220040xyxy，即 2，即 2x，其判别式 20x，所以直线 PQ与椭圆相切 .21.解：（）函数 fx的定义域为 0,，21lnafx，因为 f的图象在点 ,1f处的切线方程为 1yx，所以1ln0,afb，解得 a， 0b.所以 lxf.所以 21n .令 0fx ，得 e，当 时， 0fx ， fx单调递增；当 xe时， ， 单调递减.所以函数 f的单调递增区间为 ,e，单调递减区间为 ,e.（）当 1212xfx时， 12
17、x.证明如下：因为 e时 f单调递减，且 ln0xf，又 1，当 e时， fx单调递增，且 0fx.若 212fxfx，则 12,必都大于 1，且必有一个小于 e，一个大于 e.不防设 1e，当 2x时，必有 12xe.当 2e时， 221222lnexxffxffe，设 lnexg， e，则 221lnlexxg 2224llexe2221lnlnxexe.因为 e，所以 220,xe.故 ln.又 41lex，所以 0g .所以 fx在区间 ,2e内单调递增 .所以 10.所以 12fxfex.因为 ， ，所以 2ex，又因为 fx在区间 0,e内单调递增，所以 12e，即 12x.综上，
18、当 fxf时， 12xe.22.解：（）直线 :0ly的倾斜角为 4，因此写成参数方程的形式为1cos,in.4xty，由 24sin5，得曲线 C的直角坐标方程为 229xy.（）将直线 l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得 240t，设 12,是方程的两根，解得 t， 2t，又点 A在第一象限，故点 A对应 12t，代入到 sin4yt，得到点 纵坐标 Ay，因此 12OMAASy.23.解：（）当 m时， 112fxxx，当且仅当 10x，即 时，取等号 .故函数 f的值域为 2,.（）当 m时， 1fxx.313fx.当 时， 2x，得 1x，此时解集为 |1x；当 x时， 1，得 ，此时解集为 ；当 12时， 3x，得 x，此时解集为 |x.综上所述，不等式的解集为 ,.
